Boltzmann-Konstante

Physikalische Konstante
Name Boltzmann-Konstante
Formelzeichen  k \, oder  k_\mathrm{B} \,
Wert
SI  1{,}380\;6488\;(13) \cdot 10^{-23} \mathrm{J}/\mathrm{K}
Unsicherheit (rel.)  9{,}1 \cdot 10^{-7}
Gauß 8{,}617\;3324\;(78) \cdot 10^{-5} \mathrm{eV}/\mathrm{K}
Quellen und Anmerkungen
Quelle SI-Wert: CODATA2010,

Die Boltzmann-Konstante (Formelzeichen  k \, oder  k_\mathrm{B} \, ) ist eine Konstante, die in den Grundgleichungen der statistischen Mechanik eine zentrale Rolle spielt. Sie wurde von Max Planck eingeführt und nach dem österreichischen Physiker Ludwig Boltzmann benannt, einem der Begründer der statistischen Mechanik.

Wert

Die Boltzmann-Konstante ist universal gültig und hat die Dimension Energie/Temperatur.

Ihr Wert beträgt


   \begin{align}
        k_\mathrm{B} &= 1{,}380\;6488\;(13) \cdot 10^{-23} \mathrm{J}/\mathrm{K} \\
                     &= 8{,}617\;3324\;(78) \cdot 10^{-5} \mathrm{eV}/\mathrm{K}.
    \end{align}

Aus der Boltzmann-Konstante berechnet sich die universelle Gaskonstante:

R_\mathrm{m} = N_\mathrm{A} \cdot k_\mathrm{B},

wobei N_\mathrm{A} [1/mol] die Avogadro-Konstante ist.

Definition und Zusammenhang mit der Entropie

Ludwig Boltzmann

Die Ideen von Ludwig Boltzmann präzisierend, lautet die von Max Planck gefundene fundamentale Beziehung:

 S = k_\mathrm{B} \, \ln \Omega \,.

D.h., die Entropie S eines Makrozustands eines abgeschlossenen Systems im thermischen Gleichgewicht ist proportional zum natürlichen Logarithmus der Anzahl Ω (Ergebnisraum) der entsprechend möglichen Mikrozustände (bzw. anders ausgedrückt zum Maß der „Unordnung“ des Makrozustands). Das statistische Gewicht Ω ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Mikrozustandes.

Diese Gleichung verknüpft – über die Boltzmann-Konstante als Proportionalitätsfaktor – die Mikrozustände des abgeschlossenen Systems mit der makroskopischen Größe der Entropie und bildet die zentrale Grundlage der statistischen Physik. Sie ist in leicht abgewandelter Nomenklatur auf dem Grabstein von Ludwig Boltzmann am Wiener Zentralfriedhof eingraviert.

Die Entropieänderung ist in der klassischen Thermodynamik definiert als:

\Delta S = \int \frac{{\rm d}Q}{T}

mit der Wärmemenge Q.

Eine Entropiezunahme \Delta S > 0 entspricht einem Übergang in einen neuen Makrozustand mit einer größeren Zahl möglicher Mikrozustände. Dies ist in einem abgeschlossenen (isolierten) System stets der Fall (Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik).

In Bezug zur mikroskopischen Zustandssumme kann die Entropie auch als dimensionslose Größe festgelegt werden:

\begin{align}
                   S^{\,'} & =      \frac          {S}{k_\mathrm{B}} = \ln \Omega\\
\Rightarrow \Delta S^{\,'} & = \int \frac{\mathrm{d}Q}{k_\mathrm{B}T}.
\end{align}

In dieser „natürlichen“ Form korrespondiert die Entropie mit der Definition der Entropie in der Informationstheorieund bildet dort ein zentrales Maß. Der Term kBT stellt dabei jene Energie dar, um die Entropie S^{\,'} um ein Nit anzuheben.

Ideales Gasgesetz

Die Boltzmann-Konstante erlaubt die Berechnung der mittleren thermischen Energie eines freien Teilchens aus der Temperatur

E_{th} = k_\mathrm{B} \, T

und tritt beispielsweise im Gasgesetz für ideale Gaseals eine der möglichen Proportionalitätskonstanten auf:

p V = N \, k_\mathrm{B} \, T.

Bedeutung der Formelzeichen:

Bezogen auf Normbedingungen (Temperatur T0 und Druck p0) und mit der Loschmidt-Konstanten N_\mathrm{L} = \frac{N}{V_0} kann die Gasgleichung umformuliert werden zu:

\begin{align}
\Leftrightarrow \frac{N}{V} & = \frac{1}{k_\mathrm{B}} \frac{p}{T}\\
                            & = \left( N_\mathrm{L} \frac{T_{0}}{p_{0}} \right) \frac{p}{T}\\
                            & = N_\mathrm{L} \frac{p}{p_{0}} \frac{T_0}{T}.
\end{align}

Zusammenhang mit der kinetischen Energie

Allgemein ergibt sich für die mittlere kinetische Energie eines klassischen punktförmigen Teilchens im thermischen Gleichgewicht mit f Freiheitsgraden, die quadratisch in die Hamiltonfunktion eingehen (Äquipartitionstheorem):

 \langle E_{\rm kin} \rangle = \frac{f}{2} k_\mathrm{B} \, T.

So hat beispielsweise ein punktförmiges Teilchen drei Translationsfreiheitsgrade:

 \langle E_{\rm kin} \rangle = \frac{3}{2} k_\mathrm{B} \, T.

Ein zweiatomiges Molekül hat

Dazu kommen bei ausreichend hohen Temperaturen noch Schwingungender Bindungen. So hat Wassereine extrem hohe Wärmekapazität durch eine große Zahl solcher Schwingungsfreiheitsgrade.

Rolle in der statistischen Physik

Allgemeiner tritt die Boltzmann-Konstante in der thermischen Wahrscheinlichkeitsdichte beliebiger Systeme der Statistischen Mechanik im thermischen Gleichgewicht auf, diese lautet:

 \mathrm{Wahrscheinlichkeitsdichte}_{th} = \frac{e^{-\frac{E}{k_\mathrm{B} T}}}{Z}

mit

Beispiel aus der Festkörperphysik

In Halbleitern besteht eine Abhängigkeit der Spannung über einen p-n-Übergang von der Temperatur, der mit Hilfe der Temperaturspannung \phi_T oder U_T beschrieben werden kann:

 \phi_T = U_T = \frac{k_\mathrm{B} \cdot T}{e}

Dabei ist

Bei Raumtemperatur (T = 300 K) beträgt der Wert der Temperaturspannung ungefähr 25 mV oder 1/40 V.

Anwendungsbereiche



Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 25.09. 2017