Wurfparabel
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Die Wurfparabel ist die Flugbahn, die ein Körper beim Wurf in einem homogenen Schwerefeld beschreibt, wenn man den Einfluss des Luftwiderstands vernachlässigt. Der schiefe Wurf stellt dabei den Regelfall dar – senkrechter und waagerechter Wurf sind Ausnahmefälle. Die Wurfparabel ist stets nach unten geöffnet; der höchste Punkt der Flugbahn ist der Scheitelpunkt der Parabel.
Auf der Erde ist das Schwerefeld nur bei kleinen Wurfweiten annähernd homogen. Dann ist die Parabelform eine gute Näherung. In besserer Näherung folgt der Körper einer ellipsenförmigen Kepler-Bahn.
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Die ballistische Kurve ist die von der idealen Wurfparabel abweichende Kurve unter Einfluss des Luftwiderstandes. Die Wurfparabel ist die Idealisierung der ballistischen Flugbahn.
Wurfparabel ohne Luftwiderstand
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Grund für die Parabelform ist die Tatsache, dass während des Fluges nur die
Schwerkraft
auf den Körper einwirkt. Es liegt ein freier
Fall vor. Zur Berechnung wird die Anfangsgeschwindigkeit
in die zueinander senkrechten Komponenten
und
zerlegt, die unabhängig voneinander behandelt werden können. Die horizontale
-Komponente
ist völlig unabhängig von der vertikalen
-Komponente,
die nach oben gerichtet sei. Das hat folgende Konsequenzen (Startpunkt sei
):
- In horizontaler Richtung fliegt der Körper nach dem ersten
Newtonschen Gesetz mit konstanter Geschwindigkeit
dahin, da in dieser Richtung keine Kraft auf ihn wirkt; bei konstanter Geschwindigkeit ändert sich die Entfernung somit linear mit der Zeit. Für diese Entfernung gilt die Formel:
- In vertikaler Richtung bewirkt die Schwerkraft eine konstante Beschleunigung nach
unten, nämlich die Schwerebeschleunigung
. Für die Geschwindigkeit
gilt:
-
- Der Ort
ergibt sich daraus durch Integration über die Zeit zu:
Mathematische Beschreibung
Der Körper wird mit einer Geschwindigkeit
unter dem Winkel
schräg nach oben geworfen. Dann gilt für die Geschwindigkeitskomponenten, aus
denen die Abwurfgeschwindigkeit durch lineare Superposition
zusammengesetzt ist (unter Vernachlässigung des Luftwiderstands):
- horizontal:
- vertikal:
Daraus ergibt sich für die -
und
-Ortskomponenten
Folgendes:
- horizontal: horizontale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit:
und
- vertikal: vertikale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit plus Geschwindigkeitsänderung durch konstante Beschleunigung:
Die vektorielle Bahngleichung lautet dann:
Die explizite Bahngleichung im Ortsraum (indem man
nach
auflöst und dann
in
einsetzt) lautet:
Bedeutung der weiteren Variablen:
ist die Zeit,
ist die Schwerebeschleunigung.
Reichweite
Die Reichweite
wird üblicherweise dadurch definiert, dass die Wurfparabel die Ausgangshöhe
wieder erreicht, d.h.:
.
Damit kann man die Bewegungsgleichung nach
auflösen und erhält:
Startwinkel für die maximale Reichweite
Da die Sinusfunktion bei
ihren größten Wert
hat, erreicht man bei Anfangshöhe
die größte Reichweite für
.
Maximale Reichweite mit einer Anfangshöhe 
Die Formel mit dem Arkuskosinus
ergibt sich aus der Darstellung für den Arkussinus, und für die letzte
Darstellung werden die Argumente der beiden vorhergehenden Formeln durch
einander geteilt. Die Anfangshöhe darf höchstens so tief unter dem Ziel liegen,
dass dieses bei einem senkrechten Wurf mit der Wurfweite
gerade noch erreicht werden kann, also:
Die von der Abwurfhöhe
abhängige maximale horizontale Wurfweite beträgt
bei einer Flugdauer von
.
Aus der Formel für die maximale Wurfweite ergeben sich durch Umstellen der
Gleichung die minimale Abwurfgeschwindigkeit für vorgegebene Abwurfhöhe und
Wurfweite zu
sowie ein optimaler Abwurfwinkel von
und eine Flugdauer von
.
Für
ergeben sich jeweils die bereits bekannten Formeln.
Obere und untere Winkelgruppe
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Soll durch einen Wurf ein Ziel auf gleicher Höhe in einer gegebenen
Entfernung
erreicht werden, so gibt es für diese Aufgabe in Abhängigkeit von der Anfangsgeschwindigkeit
entweder keine, eine oder zwei Lösungen. Der erste Fall tritt ein, wenn die
maximale Reichweite geringer als die Entfernung zum Ziel ist; der zweite Fall,
wenn das Ziel gerade noch durch einen Wurf von 45° zu erreichen ist. Für noch
höhere Anfangsgeschwindigkeiten existieren dann stets zwei Winkel, bei denen die
Wurfparabel beide Male zum Ziel führt; dies sind die beiden positiven Winkel,
welche die Gleichung
erfüllen. Dabei ist stets genau eine Lösung größer als 45°, die andere kleiner als 45°.
Entsprechend werden in der Ballistik Lösungen mit einem Winkel über 45° als obere Winkelgruppe bezeichnet, die anderen als untere Winkelgruppe. Im Artilleriewesen spricht man von Steilfeuer mit einem Mörser beziehungsweise von flachem Feuer mit einer Kanone oder wahlweise beides mit einer Haubitze.
Beispiel
Für einen Wurf (oder Schuss) zu einem 100 m entfernten Ziel auf gleicher Höhe muss die Anfangsgeschwindigkeit unter den üblichen idealen Annahmen (keine Reibung, Schwerebeschleunigung von 9,81 m/s2) mindestens 31 m/s betragen. Mit diesem Wert für die Anfangsgeschwindigkeit ist es durch einen Wurf von 45° erreichbar und nur dadurch. Für jeden höheren Geschwindigkeitswert gibt es dann stets zwei Lösungen. Beispielsweise kann bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 40 m/s das Ziel sowohl mit einem Winkel von 18,9° wie auch mit dem von 71,1° erreicht werden; die Flugdauer ist für Lösungen aus der unteren Winkelgruppe jeweils kürzer, im Beispiel beträgt sie etwa 2,6 s gegenüber 7,7 s für die zweite Lösung.
Reichweite bei von null verschiedener Anfangshöhe
Für
gilt die allgemeine Formel
für die Wurfweite .
Die maximale Reichweite und der zugehörige Startwinkel kann aus der einhüllenden
Wurfparabel auch ohne Verwendung von Ableitungen
bestimmt werden. Für
ist
,
für
folgt umgekehrt
.
Scheitelpunkt
Der Scheitelpunkt wird in dem Augenblick erreicht, in dem die vertikale Geschwindigkeit null beträgt, d.h., wenn eine bis dahin nach oben gerichtete Bewegung endet und eine nach unten gerichtete Bewegung beginnt. Im Scheitelpunkt wurde die gesamte kinetische Energie (in vertikaler Richtung) umgesetzt in potentielle Energie.
Den Scheitelpunkt kann man berechnen, da der Wurf eine Parabelform hat und
der Scheitelpunkt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen
und
liegt.
Der Scheitelpunkt hat also die
-Koordinate
.
Die
-Koordinate
erhält man durch die Bewegungsgleichung.
Aufgelöst, hat der Scheitelpunkt folgende Koordinaten:
Erläuterung an einem Beispiel
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Wären weder Gravitation noch Luftwiderstand vorhanden, so würde der Körper dem Trägheitsprinzip folgend gleichförmig bewegt in die gleiche Richtung und mit gleicher Geschwindigkeit wie zu Anfang weiterfliegen (roter Pfeil).
Das Erdschwerefeld
lenkt den Körper jedoch nach unten ab – und zwar mit der Zeit
quadratisch
zunehmend:
- Nach 1 s liegt die tatsächliche Flugbahn um knapp 5 m tiefer als die Tangente am Ausgangspunkt (Abwurfpunkt),
- nach 2 s um das Vierfache (etwa 20 m),
- nach 3 s 45 m sowie
- nach 4 s 80 m und so weiter (Schwerebeschleunigung von 9,81 auf 10 m/s² gerundet).
Senkrechter Wurf
Der senkrechte Wurf ist ein wichtiger Spezialfall der Wurfparabel. Er lässt sich in zwei verschiedene Wurfrichtungen ausführen – nach oben (gegen die Schwerebeschleunigung) und nach unten (mit der Schwerebeschleunigung).
Der senkrechte Wurf nach oben entspricht einer ungestörten Überlagerung von geradlinig gleichförmiger Bewegung nach oben und dem freien Fall nach unten. Wenn man dies in einer Grafik darstellt, so ergibt sich eine symmetrische Parabel, deren höchster Punkt dem Umkehrpunkt (Scheitelpunkt) des Körpers entspricht. Dabei ergeben sich folgende Formeln:
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- Die maximale Wurfhöhe
wird berechnet, indem man die Geschwindigkeit
setzt, dann zunächst die
- Steigzeit
berechnet und schließlich mithilfe der unteren Gleichung
ermittelt.
Es ergibt sich:
- Die Wurfdauer
berechnet man, indem man in der unteren Gleichung
setzt und dann die quadratische Gleichung für
löst. Einfacher kann die Wurfdauer jedoch durch Verdoppelung von Letzterer ermittelt werden, da die Fallzeit
gleich der Steigzeit
ist.
Der senkrechte Wurf nach unten entspricht einer Überlagerung von geradliniger Bewegung nach unten und freiem Fall nach unten. Dabei ergeben sich folgende Formeln:
Waagerechter Wurf
Einen weiteren Spezialfall, für den sich die Gleichungen vereinfachen, bildet der waagerechte Wurf.
Einhüllende Wurfparabel
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Wird bei gegebener Anfangsgeschwindigkeit
(und Anfangshöhe
)
der Startwinkel
verändert, so erreichen die verschiedenen Wurfparabeln unterschiedliche Punkte
in der (vertikalen) Wurfebene. Die Reichweite dieser Wurfparabeln wird durch die
einhüllende
Wurfparabel begrenzt.
Die Gleichung der Hüllkurve der Wurfparabeln
lautet:
Sie entspricht demnach einem waagerechten Wurf ()
aus der maximal erreichbaren Wurfhöhe des senkrechten Wurfs mit dessen
Anfangsgeschwindigkeit
.
Wurfweite bei Würfen am Hang
Auch für Würfe an geneigten Ebenen kann man den Winkel für die maximale Reichweite bestimmen.
Wurfparabel mit Luftwiderstand
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Der Luftwiderstand
bremst proportional zu .
Bei kleinen Geschwindigkeiten und kompakten Flugkörpern bleibt die Parabelform
recht gut erhalten, wie man an der Flugbahn eines idealisierten Golfballs ohne
Auftriebseffekte durch Drall und Dimples erkennt. Bei einer Anfangsgeschwindigkeit
von 65 m/s fliegt er etwa 200 Meter auf einer fast symmetrischen Bahn.
Wie stark jedoch der Luftwiderstand auf einen Federball
wirkt, zeigt nebenstehende Skizze für ebenfalls 65 m/s. Der Ball fällt am
Ende seiner Flugbahn fast senkrecht zu Boden – und zwar schon nach 10 bis
15 Metern. Die maximale Flugweite wird außerdem nicht bei 45° erreicht,
sondern bei einem Startwinkel um 20°. Bei kleineren Anfangsgeschwindigkeiten
vergrößert er sich und nähert sich der 45°-Parabel an.
Bei Raketen mit kurzer Brennzeit (Kurzstrecken-, Luftabwehrraketen) ist die Form der Flugbahn ähnlich wie beim schrägen Wurf eines schnittigen Körpers. Die Reichweite wird dann von Anfangsgeschwindigkeit und Scheitelhöhe bestimmt, die ihrerseits vom Abschusswinkel abhängt.
Parabelflug
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Der Parabelflug ist ein Flugmanöver, meist ausgeführt in großer Höhe, bei dem ein Flugzeug eine etwa halbminütige Wurfparabel beschreibt. Er dient zum Training der Schwerelosigkeit für Astronauten und für Experimente bei verminderter Schwerkraft, sogenannter Mikrogravitation.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 30.03. 2024