Lemma von Fatou

Das Lemma von Fatou (nach Pierre Fatou) erlaubt in der Mathematik, das Lebesgue-Integral des Limes inferior einer Funktionenfolge durch den Limes inferior der Folge der zugehörigen Lebesgue-Integrale nach oben abzuschätzen. Es liefert damit eine Aussage über die Vertauschbarkeit von Grenzwertprozessen.

Mathematische Formulierung

Sei (S,\Sigma ,\mu ) ein Maßraum. Für jede Folge (f_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} nichtnegativer, messbarer Funktionenf_{n}\colon S\to \mathbb{R} \cup \{\infty \} gilt

\int _{S}\liminf _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}\ {\mathrm  {d}}\mu \leq \liminf _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}f_{n}\ {\mathrm  {d}}\mu ,

wobei auf der linken Seite der Limes inferior der Folge (f_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} punktweise zu verstehen ist.

Analog gilt dieser Satz auch für den Limes superior, sofern es eine nichtnegative, integrierbare Funktion g mit f_{n}\leq g gibt:

\int _{S}\limsup _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}\ {\mathrm  {d}}\mu \geq \limsup _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}f_{n}\ {\mathrm  {d}}\mu .

Dies lässt sich zusammenfassen zu der Merkregel

\int _{S}\liminf _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}\ {\mathrm  {d}}\mu \leq \liminf _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}f_{n}\ {\mathrm  {d}}\mu \leq \limsup _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}f_{n}\ {\mathrm  {d}}\mu \leq \int _{S}\limsup _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}\ {\mathrm  {d}}\mu .

Beweisidee

Um das Lemma von Fatou für den Limes inferior zu beweisen, wendet man auf die monoton wachsende Funktionenfolge

g_{n}:=\inf _{{k\geq n}}f_{k}\nearrow \liminf _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}

den Satz von der monotonen Konvergenz an. Mit der daraus resultierenden Gleichung und der auf der Monotonie des Integrals basierenden Ungleichung

\int _{S}\left(\inf _{{k\geq n}}f_{k}\right)\leq \int _{S}f_{n}

erhält man aus den Rechenregeln für den Limes:

\int _{S}\liminf _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}=\lim _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}\left(\inf _{{k\geq n}}f_{k}\right)\leq \liminf _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}f_{n}.

Für das Lemma von Fatou mit Limes superior kann man analog verfahren, denn nach Voraussetzung ist g_{1}=\sup _{{k\geq 1}}f_{k}\leq g mit g integrierbar, also ist g_{1} integrierbar.

Beispiele für strikte Ungleichung

Der Grundraum S sei jeweils versehen mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß.

Jedes f_{n} hat Integral eins,

\int _{S}f_{n}\ {\mathrm  {d}}\mu =1

deshalb gilt

1=\lim _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}f_{n}\ {\mathrm  {d}}\mu =\liminf _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}f_{n}\ {\mathrm  {d}}\mu =\limsup _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}f_{n}\ {\mathrm  {d}}\mu

Die Folge (f_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} konvergiert auf S punktweise gegen die Nullfunktion

0=\lim _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}=\liminf _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}=\limsup _{{n\rightarrow \infty }}f_{n},

daher ist das Integral ebenfalls Null

0=\int _{S}\liminf _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}\ {\mathrm  {d}}\mu =\int _{S}\limsup _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}\ {\mathrm  {d}}\mu ,

daher gelten hier die strikten Ungleichungen

\int _{S}\liminf _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}\ {\mathrm  {d}}\mu <\liminf _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}f_{n}\ {\mathrm  {d}}\mu ,
\int _{S}\limsup _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}\ {\mathrm  {d}}\mu <\limsup _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}f_{n}\ {\mathrm  {d}}\mu

Diskussion der Voraussetzungen

Auf die Voraussetzung der Nichtnegativität der einzelnen Funktionen kann nicht verzichtet werden, wie das folgende Beispiel zeigt: Sei S das halboffene Intervall [0,\infty ) mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß. Für alle n\in \mathbb {N} definiere f_{n}(x):=-{\tfrac  {1}{n}}{\mathfrak  {1}}_{{[0,n]}}(x). Die Folge (f_{n})_{{n\in \mathbb{N} }} konvergiert auf S (sogar gleichmäßig) gegen die Nullfunktion (mit Integral 0), jedes f_{n} hat aber Integral −1. Daher ist

0=\int _{S}\lim _{{n\rightarrow \infty }}f_{n}\ {\mathrm  {d}}\mu >\lim _{{n\rightarrow \infty }}\int _{S}f_{n}{\mathrm  {d}}\mu =-1.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 30.01. 2019