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Ganzes Element

Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra ist der Begriff eines ganzen Elementes in einer Ringerweiterung eine Verallgemeinerung des Begriffes eines algebraischen Elementes in einer Körpererweiterung.

Definition

Es sei A ein Ring und B eine A-Algebra. Dann heißt ein Element b\in B ganz über A, wenn es ein Polynom p\in A[X]\setminus \{0\} mit Leitkoeffizient 1 gibt, so dass p(b)=0 gilt, also wenn es ein n\in \mathbb {N} und Koeffizienten {\displaystyle a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n-1}\in A} gibt mit

{\displaystyle b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\dots +a_{1}b+a_{0}=0}.

Die Menge der über A ganzen Elemente von B heißt der ganze Abschluss von A in B.

Falls der ganze Abschluss von A in B mit A übereinstimmt, heißt A ganz abgeschlossen in B. Stimmt der ganze Abschluss von A in B jedoch mit B überein, ist also jedes Element von B ganz über A, so heißt B ganz über A.

Beispiele

 \mathcal O_K=\mathbb Z\!\left[\frac{1+\sqrt5}2\right].

Charakterisierung ganzer Elemente in Ringerweiterungen

Sei A\subseteq B eine Ringerweiterung, x\in B. Dann sind äquivalent:

Eigenschaften

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 05.09. 2019