Netz (Geodäsie)

Vermessungsnetz

In der Geodäsie versteht man unter einem Vermessungsnetz (meist nur Netz genannt) eine Anordnung von Vermessungspunkten, die durch Beobachtungen (Messungen) „netzartig“ miteinander verbunden sind. Netze können beispielsweise

Die Punkte bilden als Festpunktfeld die Grundlage für weitere Vermessungen, die an das Netz angeschlossen werden und damit in einem einheitlichen Koordinatensystem bestimmt werden. Je nachdem, ob die Lage oder Höhe der Festpunkte bestimmt wurde, spricht man von einem Lagefestpunktfeld oder Höhenfestpunktfeld.

Allgemeines

Ein geodätisches Netz wird verwendet, um die Koordinaten von Vermessungspunkten in einem gewählten Bezugssystem zu bestimmen. Für die Bestimmung werden Beobachtungen zwischen den einzelnen Punkten des Netzes ausgeführt. Diese Beobachtungen können sein:

Arten geodätischer Netze

Bis in die 1970er-Jahre wurden Triangulationsnetze bevorzugt eingesetzt, da mit dem damaligen Instrumentarium die Messung von Winkel mittels Theodolit wesentlich einfacher war als eine aufwändige Entfernungsmessung mittels Invar-Basismessung oder Messlatten etc. Durch die Weiterentwicklungen im Bereich der elektronischen Distanzmessung seit 1980 ist heute die Entfernungsmessung meist schon einfacher als die Winkelmessung. Außerdem kommen immer öfter auch GPS-Messungen zum Einsatz. Daher werden heute normalerweise geodätische Netze als kombinierte Netze angelegt.

Berechnung

Um einerseits eine Kontrolle über die durchgeführten Messungen zu haben, andererseits auch qualitative Aussagen über das Netz und die ausgeführten Messungen machen zu können, werden die Messungen überbestimmt ausgeführt. Das heißt, es erfolgen mehr Messungen (überzählige Messungen) als zur Bestimmung der Geometrie des Netzes notwendig sind, gefolgt von einer Netzausgleichung. Die mathematische Optimierung der Netzstruktur wird Netzdesign genannt (siehe unten).

Vereinfachtes Beispiel

Wenn man in einem Dreieck alle drei Winkel α, β, γ misst, liegt eine Überbestimmung vor. Diese kann in folgender Bedingung ausgedrückt werden:

α + β + γ = 180°

Erhält man aus der Messung für die Winkelsumme einen Wert von 180,1° so kann man damit abschätzen, dass die Messung schlechter ist, als wenn man eine Summe von 180,001° erhält.

Ausgleichsrechnung und Netzdesign

Um zu einem plausiblen Ergebnis zu kommen, bringt man an den drei gemessenen Winkeln Verbesserungen an, sodass dann das Ergebnis den erwarteten Wert von 180 ergibt. Zum Beispiel, wenn die gemessene Winkel sich auf 180,1° summieren, teilt man den Schlussfehler in drei gleiche Teile auf:

αverbessert = αgemessen – 0,033°
βverbessert = βgemessen – 0,033°
γverbessert = γgemessen – 0,033°

Die Wahl der Verbesserungen erfolgt normalerweise nach der Methode der kleinsten Quadrate, wonach die Quadratsumme aller Verbesserungen möglichst klein wird. Dazu gibt es zwei Rechenmodelle:

Wieder erhält man ein (überbestimmtes) Gleichungssystem wobei hier schon die gesuchten Koordinaten der Vermessungspunkte die Unbekannten sind. Für dieses kann (nach der Linearisierung) unter der Minimumsbedingung eine eindeutige Lösung gefunden werden.

Bei modernen, insbesondere großräumigen Netzen ist eine weitgehende Optimierung der Netzstruktur anzustreben. Dieses sogenannte Netzdesign bezweckt neben der größtmöglichen Genauigkeit auch die vollständige Kontrollierbarkeit (Verlässlichkeit) der Messungen und ist eine anspruchsvolle Aufgabe der Mathematischen Geodäsie. Diesbezügliche Methoden wurden unter anderem von den Geodäten Erik Grafarend und Fernando Sansò entwickelt und basieren teilweise auf mehrdimensionalen Konzepten der geometrischen Stochastik.

Lagerung und Bezugssysteme

In geodätischen Netzen werden normalerweise nur relative Größen gemessen, das heißt Größen, die sich auf den Unterschied zwischen zwei oder drei Punkten beziehen (Winkel, Entfernungen, Raumvektoren). Damit ist die innere Geometrie des Netzes festgelegt. Aber damit ist noch nicht definiert, wo das Netz im Koordinatensystem gelagert wird. Beispiel: Gemessen sei die Distanz s = 35 m zwischen zwei Vermessungspunkten. Damit ist festgelegt, dass die beiden Punkte 35 m voneinander entfernt sein müssen.
Das kann nun bedeuten:

Punkt 1 hat die Koordinaten x=100 und y=100
Punkt 2 hat die Koordinaten x=100 und y=135

oder:

Punkt 1 hat die Koordinaten x=317 und y=412
Punkt 2 hat die Koordinaten x=282 und y=412

oder …

Um diesen Datumsdefekt zu eliminieren, der bei vermittelnder Berechnung ein Gleichungssystem mit einem Rangdefekt bedeutet, müssen zusätzliche Bedingungen für die Lagerung im Raum oder auf der Erdoberfläche angegeben werden:

Siehe auch

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 21.11. 2021