Lichtkegel

In der relativistischen Physik bezeichnet der Lichtkegel eines Ereignisses die Menge aller Ereignisse , die sich mit Lichtgeschwindigkeit auf auswirken oder von mit Lichtgeschwindigkeit beeinflusst werden können.

Lichtkegel in einer Raumzeit mit zwei Raumdimensionen, Vorwärtskegel in positiver Zeitrichtung.
Der Beobachter eines Ereignisses befindet sich im Schnittpunkt von Vergangenheits- und Zukunfts-Kegel (Gegenwart).

Der Lichtkegel ist ein Doppelkegel im vierdimensionalen Minkowski-Raum. Er besteht aus

dem Rückwärtslichtkegel, der genau die Ereignisse enthält, die vor stattgefunden haben (Vergangenheit, ) und mit Lichtgeschwindigkeit bewirkt haben können (siehe Lokalität und Kausalität), und
dem Vorwärtslichtkegel, das sind die Ereignisse die später als stattfinden (Zukunft, ) und von mit Lichtgeschwindigkeit verursacht worden sein können.

Definition

Seien

die Orts- und Zeitkoordinaten von ,
$(t',x',y',z')$ die Koordinaten von ,
$(t'-t,x'-x,y'-y,z'-z)$ die Komponenten des Differenzvektors ,
${\mathrm d}s^{2}:=c^{2}\cdot {\mathrm d}t^{2}-{\mathrm d}x^{2}-{\mathrm d}y^{2}-{\mathrm d}z^{2}$ das Quadrat des differentiellen Abstands in der flachen Raumzeit, der für alle Beobachter identisch ist. Die hier verwendete Signatur ist $(+,-,-,-)$ . Für eine Signatur gelten für $\mathrm {d} s^{2}$ analoge Definitionen mit umgekehrtem Vorzeichen.

Lichtartiger Differenzvektor

Wenn der Differenzvektor lichtartig ist:

${\begin{aligned}&&\mathrm {d} s^{2}&=0\\\Leftrightarrow &&c^{2}\,(t'-t)^{2}-(x'-x)^{2}-(y'-y)^{2}-(z'-z)^{2}&=0\\\Leftrightarrow &&\left({\frac {x'-x}{t'-t}}\right)^{2}+\left({\frac {y'-y}{t'-t}}\right)^{2}+\left({\frac {z'-z}{t'-t}}\right)^{2}&=c^{2}\\\Leftrightarrow &&v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}&=c^{2},\end{aligned}}$

dann liegt in der speziellen Relativitätstheorie auf dem Lichtkegel von Genau die Ereignisse auf dem Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegel sind aktuell für einen Beobachter sichtbar, der sich in aufhält (ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).

Zeitartiger Differenzvektor

Ist der Differenzvektor zeitartig:

${\begin{aligned}&&\mathrm {d} s^{2}&>0\\\Leftrightarrow &&c^{2}\,(t'-t)^{2}-(x'-x)^{2}-(y'-y)^{2}-(z'-z)^{2}&>0\\\Leftrightarrow &&v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}&<c^{2},\end{aligned}}$

so liegt im Inneren des Rückwärts- oder Vorwärtslichtkegels von , je nachdem, ob es vor oder nach stattgefunden hat. Dann kann es sich bei um die Ursache oder um die Auswirkung von handeln, die sich langsamer als Licht auswirkt. Ereignisse innerhalb des Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegels waren früher für einen Beobachter sichtbar, der sich an derselben Stelle im Raum aufhielt wie (ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).

Raumartiger Differenzvektor

Ist der Differenzvektor raumartig:

${\begin{aligned}&&\mathrm {d} s^{2}&<0\\\Leftrightarrow &&c^{2}\,(t'-t)^{2}-(x'-x)^{2}-(y'-y)^{2}-(z'-z)^{2}&<0\\\Leftrightarrow &&v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}&>c^{2},\end{aligned}}$

so liegt außerhalb des Rückwärts- oder Vorwärtslichtkegels. Bei den Ereignissen kann es sich nicht um Ursache und Wirkung handeln, denn dann müsste sich eine Ursache mit Überlichtgeschwindigkeit auswirken. Ereignisse außerhalb des Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegels von und vor sind für einen Beobachter, der sich in aufhält, (noch) nicht sichtbar (d.h. sie liegen hinter dem Ereignishorizont, ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).

Folgen für die Lösung relativistischer Differentialgleichungen

Die Lösung der inhomogenen Klein-Gordon-Gleichung, gültig für Bosonen, hängt für das Ereignis nur ab von den früheren Anfangsbedingungen sowie der Inhomogenität auf dem Rückwärtslichtkegel von und in seinem Inneren.

Die Lösung der homogenen Klein-Gordon-Gleichung (verschwindende Masse, entspricht der Wellengleichung) hängt nur ab von den Anfangsbedingungen und der Inhomogenität auf dem Rückwärtslichtkegel von , aber nicht mehr von der Inhomogenität in seinem Inneren. Anfangsbedingungen und Inhomogenität wirken sich in diesem Fall nur mit Lichtgeschwindigkeit aus.

Die Folgen für die Lösung anderer grundlegender relativistischer Gleichungen (z.B. der Dirac-Gleichung, gültig für Fermionen) sind entsprechend.

Siehe auch

Minkowski-Diagramm

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de