Von-Neumann-Gleichung

Die Von-Neumann-Gleichung (nach John von Neumann) stellt das quantenmechanische Analogon zur Liouville-Gleichung der klassischen statistischen Mechanik dar. Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung des Dichteoperators ${\hat \rho }$ im Schrödinger-Bild:

${\frac {\partial {\hat \rho }}{\partial t}}=-{\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat H},{\hat \rho }\right]$

${\hat {H}}$ ist dabei der Hamilton-Operator des Systems und $[{\hat H},{\hat \rho }]={\hat H}{\hat \rho }-{\hat \rho }{\hat H}$ ist ein Kommutator. Der Dichteoperator ist IMG class="text" style="width: 20ex; height: 3.84ex; vertical-align: -1.33ex;" alt="{\hat {\rho }}=\sum {}\!_{{k}}\,p_{{k}}|\psi _{{k}}\rangle \langle \psi _{{k}}|" src="/svg/2b3509f49de715920add4efc0f8e4d1be8a4fff4.svg">. Dabei bezeichnet $p_{k}$ die Wahrscheinlichkeit, in einem Gemisch den reinen Zustand $|\psi _{k}\rangle$ zu messen, falls die Zustände $|\psi \rangle$ orthogonal sind. Die Spur eines Dichteoperators ergibt 1, da $\operatorname {Tr}({\hat \rho })=\sum {}\!_{{k}}\,p_{{k}}=1$ .

Diskussion

Die allgemeine Lösung der Von-Neumann-Gleichung ist, wobei der Zeitentwicklungsoperator ${\hat {U}}(t)$ und sein adjungierter Operator ${\hat {U}}^{{\dagger }}(t)$ verwendet werden:

${\hat {\rho }}(t)={\hat {U}}(t){\hat {\rho }}(0){\hat {U}}^{{\dagger }}(t)$

Der Dichteoperator ist stationär ${\tfrac {\partial }{\partial t}}{\hat {\rho }}=0$ , wenn dieser mit dem Hamiltonoperator vertauscht $\left[{\hat {H}},{\hat {\rho }}\right]=0$ .

Mit Hilfe der Von-Neumann-Gleichung kann man zeigen, dass die Spur des quadratischen Dichteoperators zeitlich konstant ist:

${\mathrm {Tr}}({\hat {\rho }}^{{2}}(t))={\mathrm {Tr}}({\hat {\rho }}(t){\hat {\rho }}(t))={\mathrm {Tr}}({\hat {U}}(t){\hat {\rho }}(0)\underbrace {{\hat {U}}^{{\dagger }}(t){\hat {U}}(t)}_{{=1}}{\hat {\rho }}(0){\hat {U}}^{{\dagger }}(t))={\mathrm {Tr}}(\underbrace {{\hat {U}}^{{\dagger }}(t){\hat {U}}(t)}_{{=1}}{\hat {\rho }}(0){\hat {\rho }}(0))={\mathrm {Tr}}({\hat {\rho }}^{{2}}(0))$

$\Rightarrow \ {\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {Tr}\left({\hat \rho }^{2}\right)=0$

Hierbei wurde im vorletzten Schritt die zyklische Invarianz der Spur ausgenutzt. Wegen $\operatorname {Tr}\left({\hat \rho }^{2}\right)\leq 1$ mit Gleichheit genau dann, wenn $\rho$ einen reinen Zustand beschreibt, folgt daraus, dass reine Zustände rein bleiben und gemischte gemischt.

Erwartungswerte von Operatoren werden durch $\langle {\hat {A}}\rangle ={\mathrm {Tr}}({\hat {\rho }}{\hat {A}})$ ausgedrückt. Die Zeitabhängigkeit der Erwartungswerte

${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}\langle {\hat {A}}\rangle ={\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}{\mathrm {Tr}}({\hat {\rho }}{\hat {A}})={\mathrm {Tr}}\left({\frac {\partial {\hat {\rho }}}{\partial t}}{\hat {A}}+{\hat {\rho }}{\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right)={\mathrm {Tr}}\left(-{\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {\rho }}\right]{\hat {A}}+{\hat {\rho }}{\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right)$

ist im stationären Fall gleich:

${\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}\langle {\hat {A}}\rangle ={\mathrm {Tr}}\left({\hat {\rho }}{\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right)=\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle$

Der Erwartungswert einer Messung zeitunabhängiger Observablen ${\tfrac {\partial }{\partial t}}{\hat {A}}=0$ ist im stationären Fall zeitunabhängig ${\tfrac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}\langle {\hat {A}}\rangle =0$ .

Herleitung

Die Von-Neumann-Gleichung lässt sich aus der Schrödingergleichung herleiten.

Man bildet die partielle Ableitung des statistischen Operators, wobei man die Produktregel berücksichtigt:

${\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {\rho }}=\sum _{{k}}p_{{k}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{{k}}\rangle \right)\langle \psi _{{k}}|+\sum _{{k}}p_{{k}}|\psi _{{k}}\rangle \left({\frac {\partial }{\partial t}}\langle \psi _{{k}}|\right)$

Die Schrödingergleichung lautet für Hilbertraumvektoren (Ket)

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle ={\hat {H}}|\psi \rangle \quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle =-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}|\psi \rangle$

und für duale Hilbertraumvektoren (Bra)

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\langle \psi |=\langle \psi |{\hat {H}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial }{\partial t}}\langle \psi |={\frac {i}{\hbar }}\langle \psi |{\hat {H}}$

Dies setzt man oben ein:

${\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {\rho }}=\sum _{{k}}p_{{k}}\left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}|\psi _{{k}}\rangle \right)\langle \psi _{{k}}|+\sum _{{k}}p_{{k}}|\psi _{{k}}\rangle \left({\frac {i}{\hbar }}\langle \psi _{{k}}|{\hat {H}}\right)$

Vereinfachen liefert die Von-Neumann-Gleichung:

${\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {\rho }}=-{\frac {i}{\hbar }}\left({\hat {H}}\sum _{{k}}p_{{k}}|\psi _{{k}}\rangle \langle \psi _{{k}}|-\sum _{{k}}p_{{k}}|\psi _{{k}}\rangle \langle \psi _{{k}}|{\hat {H}}\right)=-{\frac {i}{\hbar }}\left({\hat {H}}{\hat {\rho }}-{\hat {\rho }}{\hat {H}}\right)=-{\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {\rho }}\right]$

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de