Primonengas
Das Primonengas ist ein Beispielmodell, das einzelne Konzepte aus der Quantenphysik, der Physik der Wärme und der Zahlentheorie verbindet. Es besteht aus hypothetischen Teilchen, den Primonen, die so heißen, weil ihre Energie von Primzahlen bestimmt wird.
Übersicht
Die Idee des Primonengases geht zurück auf Bernard Julia.
Primonen sind Bosonen und wechselwirken nicht miteinander, beispielsweise stoßen sie nicht miteinander zusammen.
Quantentheoretische Beschreibung
Einzelnes Primon
Die Eigenzustände der
einzelnen Teilchen haben Energien, die proportional zu den Logarithmen
der Primzahlen sind:
mit
Bei dieser „Nummerierung“ der Eigenzustände mit einer Teilmenge der natürlichen Zahlen werden keine Eigenzustände „weggelassen“; sie ist lediglich eine praktische Namensgebung.
Vielteilchensystem
Ein Eigenzustand eines Systems aus beliebig vielen Primonen kann, da es sich
um Bosonen handelt, so beschrieben werden: im Zustand zur Primzahl
befinden sich
Teilchen (Fockraum).
Dies ist analog zur Primfaktorzerlegung
einer natürlichen Zahl ,
bei der der Primfaktor
in der
-ten
Potenz auftritt. Da jede natürliche Zahl eine eindeutige Primfaktorzerlegung hat
(Fundamentalsatz
der Arithmetik), entspricht jede natürliche Zahl
einem Zustand des Primonengases und umgekehrt. Die Zahl
enthält dabei die gesamte Information über die Besetzungszahlen der
Einteilchenzustände (sie ist aber nicht die Gesamtzahl der Primonen). Es liegt
daher nahe, den Zustand durch diese Zahl
zu benennen.
mit
Die Energie des Vielteilchenzustandes ist
Beispiele
- Der Zustand
enthält keine Primonen und hat die Gesamtenergie 0.
- Der Zustand
enthält acht Teilchen im Zustand 2 (dem niedrigsten Einteilchenzustand) und hat die Energie
.
- Der Zustand
enthält drei Teilchen im Zustand 2, zwei Teilchen im Zustand 3 und ein Teilchen im Zustand 5. Die Gesamtenergie ist
.
Thermodynamische Beschreibung
Die kanonische
Zustandssumme
ist gleich der Riemannschen
Zeta-Funktion:
Dabei ist ,
die Boltzmann-Konstante
und
die Temperatur in Kelvin. Die Divergenz der Zeta-Funktion bei
entspricht der Divergenz der Zustandssumme bei der Hagedorn-Temperatur
.
Fermionen
Man kann alternativ auch fermionische Primonen betrachten.
Dabei kann jeder Einteilchenzustand nur einmal besetzt sein. Auch dies führt
zu einer interessanten zahlentheoretischen Aussage: die Zahlen
müssen dann nämlich quadratfrei
sein.



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 29.01. 2020