Quadratfreie Zahl

Eine natürliche Zahl heißt quadratfrei, wenn es außer der Eins keine Quadratzahl gibt, die diese Zahl teilt. Anders formuliert tritt in der eindeutigen Primfaktorzerlegung n=p_{1}\cdots p_{k} einer quadratfreien Zahl keine Primzahl mehr als einmal auf.

Beispielsweise ist die Zahl 6 = 2·3 quadratfrei, während 54 = 2·32·3 nicht quadratfrei ist. Die ersten 20 quadratfreien Zahlen sind

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, … (Folge A005117 in OEIS)

Eigenschaften

Die Möbiusfunktion \mu (n) an der Stelle n ist genau dann ungleich 0, wenn n quadratfrei ist.

Aus dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen folgt sofort, dass eine endliche abelsche Gruppe mit quadratfreier Ordnung stets zyklisch ist.

Eine Zahl n ist genau dann quadratfrei, wenn der Restklassenring {\mathbb  Z}/n{\mathbb  Z} reduziert ist, das heißt, wenn außer der Null kein nilpotentes Element enthalten ist.

Die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl quadratfrei ist, ist {\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (2)}}={\tfrac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61\,\%}, wobei \zeta die Riemannsche ζ-Funktion ist. Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gleichverteilt aus \{1,\dots ,N\} gewählte natürliche Zahl quadratfrei ist, konvergiert für N\rightarrow \infty gegen {\tfrac  {1}{\zeta (2)}}.

Allgemeine Definition

Ein von 0 verschiedenes Element x eines faktoriellen Rings heißt quadratfrei, wenn in seiner bis auf Reihenfolge und Multiplikation mit Einheiten des Rings eindeutigen Primfaktorisierung x=\varepsilon \cdot p_{1}^{{\alpha _{1}}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{{\alpha _{k}}} (wobei \varepsilon eine Einheit des Rings ist) alle von Null verschiedenen Exponenten \alpha _{i} gleich 1 sind.

Es sei P(x)\in K[X] und P'(x) die formale Ableitung, dann ist P(x) quadratfrei, wenn {\text{ggT}}(P(x),P'(x))=1 ist. Somit ist für beliebiges P(x) das Polynom P(x)/{\text{ggT}}(P(x),P'(x)) immer quadratfrei.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 06.01. 2020