Airy-Formel

Die Airy-Formel gibt die Transmission eines Fabry-Pérot Interferometers (FPI) an. Für höhere Finessen {\mathcal {F}} wird nicht-resonantes Licht besser unterdrückt. Die Linienbreite \delta ist für große Finessen näherungsweise {\displaystyle {\frac {\Delta \nu }{\mathcal {F}}}} mit dem Freien Spektralbereich \Delta\nu.

Die Airy-Formel, benannt nach dem Mathematiker und Astronom George Biddell Airy, gibt den Verlauf der transmittierten Intensität elektromagnetischer Strahlung in einem Fabry-Pérot-Interferometer an, in Abhängigkeit vom Verhältnis der Wellenlänge oder Frequenz der Strahlung zum freien Spektralbereich des Interferometers.

Die Airy-Formel ergibt sich, wenn man die elektrischen Felder aller im Interferometer umlaufenden Teilwellen phasen- und amplitudenrichtig addiert.

Herleitung

Die Intensität der im Interferometer umlaufenden Strahlen ist proportional zur transmittierten Intensität. Bei der Berechnung muss die nicht-ideale Reflexion an den beiden Endspiegeln mit dem Amplituden-Reflexionskoeffizienten {\displaystyle r\neq 1} berücksichtigt werden. Er ist über {\displaystyle r^{2}+t^{2}=1} mit dem Amplituden-Transmissionskoeffizienten t verknüpft. Nach m Umläufen, also 2m Reflexionen, ist der Betrag des elektrischen Feldes um den Faktor {\displaystyle r^{2m}} kleiner.

Während eines Umlaufs, d.h. wenn eine Teilwelle das Interferometer einmal hin und zurück durchlaufen hat, akkumuliert diese einen Phasenwinkel {\displaystyle 2\varphi } (also {\displaystyle 1\varphi } pro zurückgelegter Resonatorlänge L). Diese Phase hängt ab

Dies lässt sich auch ausdrücken als Verhältnis von Lichtfrequenz \nu zum freien Spektralbereich {\displaystyle \Delta \nu ={\frac {c}{2nL}}} (Einheit Frequenz) des Fabry-Pérot-Interferometers:

{\displaystyle \varphi =n{\frac {2\pi L}{\lambda }}=2\pi {\frac {\nu }{\Delta \nu }}=-2\pi {\frac {\lambda }{\Delta \lambda }}}

Die elektrische Feldstärke E im Innern des Resonators ist

{\displaystyle {\begin{aligned}E&=E_{\mathrm {i} }t\left(1+\sum _{m=1}^{m=\infty }r^{2m}\exp \left(2im\varphi \right)\right)\\&=E_{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{1-r^{2}\exp \left(2i\varphi \right)}}\end{aligned}}}

mit der Feldstärke E_{i} des einfallenden Lichts.

In der obigen Rechnung wurde nach einer Indexverschiebung die geometrische Reihe ausgewertet. Das Betragsquadrat dieses Ausdrucks ergibt mit verschiedenen trigonometrischen Identitäten die Airy-Formel:

{\displaystyle {\begin{aligned}I=E\cdot E^{*}&={\frac {I_{\mathrm {i} }}{1-R}}\cdot {\frac {1}{1+\left({\frac {2{\sqrt {R}}}{1-R}}\right)^{2}\sin ^{2}(\varphi )}}\\&={\frac {I_{\mathrm {max} }}{1+\left({\frac {2{\mathcal {F}}}{\pi }}\right)^{2}\sin ^{2}(\varphi )}}\end{aligned}}}

In dieser Intensitätsdarstellung werden verwendet:

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 16.02. 2022