Pythagoraszahl

Die Pythagoraszahl eines Körpers ist definiert als das kleinste $p(F)\in \mathbb {N}$ , so dass sich jede endliche Summe von Quadraten in schon als Summe von p(F) Quadraten schreiben lässt.

Definition

Für einen Körper sei

$\sum F^{2}:=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\;{\Big |}\;n\in \mathbb {N} ,a_{1},\ldots ,a_{n}\in F{\text{ und }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\neq 0\right\}$

die Menge der endlichen Quadratsummen, die ungleich Null sind.

Mit

$\sum^k F^2 := \left\{ \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \;\Big|\; n\leq k , a_1, \ldots, a_n \in F \text{ und } \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \neq 0 \right\}$

bezeichnen wir die Menge der Quadratsummen in , die höchstens Länge haben. Offensichtlich gilt $\textstyle \sum ^{k}F^{2}\subseteq \sum F^{2}$ für alle $k\in {\mathbb N}$ . Unklar ist dagegen, ob immer ein $k\in {\mathbb N}$ existiert, so dass $\textstyle \sum ^{k}F^{2}=\sum F^{2}$ . Als Pythagoraszahl von bezeichnen wir die folgende Größe:

$p(F):=\min \left\{k\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}\;{\Big |}\;\sum ^{k}F^{2}=\sum F^{2}\right\}$

wobei $p(F) = \infty$ genau dann, wenn $\textstyle \sum ^{k}F^{2}\varsubsetneq \sum F^{2}$ für alle $k\in {\mathbb N}$ gilt. Es ist stets $p(F) \geq 1$ .

Die Pythagoraszahl einiger Zahlenkörper

Nach dem Satz des Pythagoras gibt es für $a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R}$ ein $b\in \mathbb {R}$ , so dass $a_1^2 + \ldots + a_n^2 = b^2$ . Damit ist die Pythagoraszahl der reellen Zahlen $p(\mathbb {R} )=1$ . Anders ausgedrückt: Man kann aus jeder Quadratsumme in $\mathbb {R}$ die Wurzel ziehen. Es ist wahrscheinlich, dass die Pythagoraszahl ihren Namen aus dieser Überlegung herleitet.
Die Pythagoraszahl der komplexen Zahlen $p(\mathbb {C} )=1$ .
Nach dem Satz von Euler-Lagrange ist die Pythagoraszahl der rationalen Zahlen $p(\mathbb {Q} )=4$ , d.h. jede Summe von Quadraten rationaler Zahlen lässt sich schon als Summe von höchstens vier Quadraten schreiben.

Weitere Beispiele und Beweise

Satz Falls nicht-reeller Körper ist, (das heißt $-1 \in \sum F^2$ ,) lässt sich die Pythagoraszahl von abschätzen durch die Stufe s(F) von :

$s(F) \leq p(F) \leq s(F)+1$

Falls ein nicht-reeller Körper mit positiver Charakteristik ist, gilt ein Lemma aus dem Buch Squares von A. R. Rajwade, nach dem für einen beliebigen Körper mit $\text{char}(F) > 0$ gilt, dass $s(F) \leq 2$ (zum Beweis vgl. Stufe).

Damit gilt für alle nicht-reellen Körper mit positiver Charakteristik, dass $p(F) \leq 3$ .

Ganz exakt kann man im Fall $F=\mathbb {F} _{q}$ werden, wo eine ungerade Primpotenz ist. Es gilt:

Satz $p(\mathbb {F} _{q})=2$ für alle $q=p^{n}$ wo p>2 prim und n>0 ist.

Die Pythagoraszahl bei Körpererweiterungen der rationalen Zahlen

Sei $F/\mathbb {Q}$ eine endlich erzeugte Körpererweiterung über den rationalen Zahlen, sei weiter $d = \text{trdeg}(F)$ der Transzendenzgrad von über $\mathbb {Q}$ .

Unter Verwendung der Milnorschen Vermutung, die von Wladimir Wojewodski bewiesen wurde, lässt sich zeigen, dass $p(F) \leq 2^{d+2}$ für alle gilt.

Wegen $p(\mathbb {Q} )=4$ ist diese Abschätzung scharf für d=0 .

Für d=1 wurde bisher $p(F) \leq 6$ gezeigt. Vermutlich gilt aber sogar $p(F) \leq 5$ , was dann wegen $p(\mathbb {Q} (t))=5$ eine scharfe Abschätzung wäre.

Siehe auch

Pythagoreischer Körper

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de