Dolbeault-Kohomologie

Die Dolbeault-Kohomologie ist eine mathematische Konstruktion aus dem Bereich der Differentialtopologie und der komplexen Geometrie. Benannt wurde sie nach dem Mathematiker Pierre Dolbeault, der sie 1953 definierte und untersuchte. Die Dolbeault-Kohomologie ist eine spezielle Kohomologietheorie. Als Analogon zur De-Rham-Kohomologie auf komplexen Mannigfaltigkeiten ist sie ebenfalls zentral in der Hodge-Theorie.

Dolbeault-Komplex

Im Folgenden werde mit {\mathcal  {A}}^{{p,q}} die Menge der (p,q)-Differentialformen bezeichnet. Sei M eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, U\subset M eine offene Teilmenge und

{\displaystyle {\overline {\partial }}\colon {\mathcal {A}}^{p,q}(U)\to {\mathcal {A}}^{p,q+1}(U)}

der Dolbeault-Quer-Operator. Dann heißt die Sequenz

{\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {A}}^{p,0}(U){\stackrel {{\overline {\partial }}_{0}}{\longrightarrow }}{\mathcal {A}}^{p,1}(U){\stackrel {{\overline {\partial }}_{1}}{\longrightarrow }}{\mathcal {A}}^{p,2}(U){\stackrel {{\overline {\partial }}_{2}}{\longrightarrow }}\ldots {\stackrel {{\overline {\partial }}_{n-1}}{\longrightarrow }}{\mathcal {A}}^{p,n}(U)\longrightarrow 0}

p-ter Dolbeault-Komplex. Dieser Komplex ist ein Kokettenkomplex, denn es gilt {\displaystyle {\overline {\partial }}_{k+1}\circ {\overline {\partial }}_{k}=0.} Da die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit endlichdimensional ist, bricht der Komplex nach n Schritten ab. Außerdem ist der Dolbeault-Komplex elliptisch, das heißt der Kokettenkomplex der Hauptsymbole von \overline{\partial} ist exakt.

Dolbeault-Kohomologie

Aus diesem p-ten Kokettenkomplex erhält man auf gewohnte Weise eine Kohomologie. Diese Kohomologie heißt p-te Dolbeault-Kohomologie und wird durch {\displaystyle H_{\overline {\partial }}^{p}(U)} notiert. Die q-te Kohomologiegruppe der p-ten Dolbeault-Kohomologie oder kurz die (q,p)-te Dolbeault-Gruppe ist also definiert als

{\displaystyle H_{\overline {\partial }}^{p,q}(U)=\mathrm {Kern} \left({\overline {\partial }}_{q}\right)/\mathrm {Bild} \left({\overline {\partial }}_{q-1}\right).}

Genauso wie bei der De-Rham-Kohomologie sind die Kohomologiegruppen auch Vektorräume.

Satz von Dolbeault

Der Satz von Dolbeault ist ein komplexes Analogon zum Satz von de Rham. Mit \Omega^p(M) wird die Garbe der holomorphen p-Formen auf der komplexen Mannigfaltigkeit M bezeichnet. Der Satz von Dolbeault besagt nun, dass die q-te Garbenkohomologiegruppe mit Werten in den holomorphen p-Formen {\displaystyle H_{G}^{q}(M,\Omega ^{p}(M))} isomorph zur q-ten Kohomologiegruppe der p-ten Dolbeault-Kohomologie {\displaystyle H_{\overline {\partial }}^{p,q}(M)} ist. In mathematischer Kürze bedeutet dies

{\displaystyle H_{\overline {\partial }}^{p,q}(M)\cong H_{G}^{q}(M,\Omega ^{p}(M)).}
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 16.07. 2021