Dolbeault-Kohomologie
Die Dolbeault-Kohomologie ist eine mathematische Konstruktion aus dem Bereich der Differentialtopologie und der komplexen Geometrie. Benannt wurde sie nach dem Mathematiker Pierre Dolbeault, der sie 1953 definierte und untersuchte. Die Dolbeault-Kohomologie ist eine spezielle Kohomologietheorie. Als Analogon zur De-Rham-Kohomologie auf komplexen Mannigfaltigkeiten ist sie ebenfalls zentral in der Hodge-Theorie.
Dolbeault-Komplex
Im Folgenden werde mit die Menge der -Differentialformen bezeichnet. Sei eine -dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, eine offene Teilmenge und
der Dolbeault-Quer-Operator. Dann heißt die Sequenz
-ter Dolbeault-Komplex. Dieser Komplex ist ein Kokettenkomplex, denn es gilt Da die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit endlichdimensional ist, bricht der Komplex nach Schritten ab. Außerdem ist der Dolbeault-Komplex elliptisch, das heißt der Kokettenkomplex der Hauptsymbole von ist exakt.
Dolbeault-Kohomologie
Aus diesem -ten Kokettenkomplex erhält man auf gewohnte Weise eine Kohomologie. Diese Kohomologie heißt -te Dolbeault-Kohomologie und wird durch notiert. Die -te Kohomologiegruppe der -ten Dolbeault-Kohomologie oder kurz die -te Dolbeault-Gruppe ist also definiert als
Genauso wie bei der De-Rham-Kohomologie sind die Kohomologiegruppen auch Vektorräume.
Satz von Dolbeault
Der Satz von Dolbeault ist ein komplexes Analogon zum Satz von de Rham. Mit wird die Garbe der holomorphen -Formen auf der komplexen Mannigfaltigkeit bezeichnet. Der Satz von Dolbeault besagt nun, dass die -te Garbenkohomologiegruppe mit Werten in den holomorphen -Formen isomorph zur -ten Kohomologiegruppe der -ten Dolbeault-Kohomologie ist. In mathematischer Kürze bedeutet dies
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 16.07. 2021