Maximales Tensorprodukt

Im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist das maximale Tensorprodukt von C*-Algebren eine Konstruktion, mit der man aus zwei C*-Algebren A und B eine neue mit A\otimes_{\mathrm{max}} B bezeichnete C*-Algebra erhält. Es handelt sich dabei um die Vervollständigung des mit einer geeigneten Norm versehenen algebraischen Tensorproduktes aus A und B. Die unten vorgestellte Konstruktion geht auf Alain Guichardet zurück.

Konstruktion

Es seien A und B zwei C*-Algebren. Eine C*-Halborm auf dem algebraischen Tensorprodukt A\odot B ist eine Halbnorm \alpha , so dass

Man kann zeigen, dass \alpha(a\otimes b) \le \|a\|\|b\| für alle a\in A und b\in B. Für ein Element s= \sum_{i=1}^n a_i\otimes b_i \in A\odot B folgt daher \alpha(s) \le \sum_{i=1}^n\|a_i\|\|b_i\| für jede C*-Halbnorm. Deshalb ist \mu(s):= \sup_\alpha \alpha(s), wobei \alpha alle C*-Halbnormen durchläuft, endlich, und man bestätigt leicht, dass \mu eine C*-Halbnorm ist, und nach Konstruktion die größte auf A\odot B. Es handelt sich sogar um eine Norm, denn unter den C*-Halbnormen befindet sich die räumliche C*-Norm.

Die Vervollständigung von A\odot B bezüglich dieser maximalen C*-Norm heißt das maximale Tensorprodukt aus A und B und wird mit A\otimes_\mu B bezeichnet, andere Autoren schreiben dafür A\otimes_{\mathrm{max}} B .

Eigenschaften

Das maximale Tensorprodukt hat folgende nützliche Eigenschaft:

Es seien A, B und C C*-Algebren und \varphi:A\rightarrow C sowie \psi :B\rightarrow C zwei *-Homomorphismen mit vertauschenden Bildern, das heißt \varphi(a)\psi(b) = \psi(b)\varphi(a) für alle a\in A und b\in B. Dann gibt es genau einen *-Homomorphismus \pi: A\otimes_{\mathrm{max}} B \rightarrow C mit \pi(a\otimes b) = \varphi(a)\psi(b) für alle a\in A und b\in B.

Sind A und B C*-Algebren, so heißt ein Paar (\varphi,\psi) ein vertauschendes Paar von Darstellungen von (A,B), falls \varphi:A\rightarrow L(H) und \psi:B\rightarrow L(H) Hilbertraum-Darstellungen auf demselben Hilbertraum H sind und \varphi(a)\psi(b) = \psi(b)\varphi(a) für alle a\in A und b\in B gilt. Mit dieser Begriffsbildung kann man folgende Formel für die maximale C*-Norm aufstellen:

Für zwei C*-Algebren A und B und s=\sum_{j=1}^na_j\otimes b_j aus dem algebraischen Tensorprodukt A\odot B gilt

 \mu(s) = \sup\{\|\sum_{j=1}^n\varphi(a_j)\psi(b_j)\|;\, (\varphi,\psi) \mbox{ vertauschendes Paar von Darstellungen von } (A,B)\}.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 28.01. 2019