Maximales Tensorprodukt
Im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist das maximale Tensorprodukt von C*-Algebren eine Konstruktion, mit der man aus zwei C*-Algebren und eine neue mit bezeichnete C*-Algebra erhält. Es handelt sich dabei um die Vervollständigung des mit einer geeigneten Norm versehenen algebraischen Tensorproduktes aus und . Die unten vorgestellte Konstruktion geht auf Alain Guichardet zurück.
Konstruktion
Es seien und zwei C*-Algebren. Eine C*-Halborm auf dem algebraischen Tensorprodukt ist eine Halbnorm , so dass
- für alle
- für alle
Man kann zeigen, dass für alle und . Für ein Element folgt daher für jede C*-Halbnorm. Deshalb ist , wobei alle C*-Halbnormen durchläuft, endlich, und man bestätigt leicht, dass eine C*-Halbnorm ist, und nach Konstruktion die größte auf . Es handelt sich sogar um eine Norm, denn unter den C*-Halbnormen befindet sich die räumliche C*-Norm.
Die Vervollständigung von bezüglich dieser maximalen C*-Norm heißt das maximale Tensorprodukt aus und und wird mit bezeichnet, andere Autoren schreiben dafür .
Eigenschaften
Das maximale Tensorprodukt hat folgende nützliche Eigenschaft:
Es seien , und C*-Algebren und sowie zwei *-Homomorphismen mit vertauschenden Bildern, das heißt für alle und . Dann gibt es genau einen *-Homomorphismus mit für alle und .
Sind und C*-Algebren, so heißt ein Paar ein vertauschendes Paar von Darstellungen von , falls und Hilbertraum-Darstellungen auf demselben Hilbertraum sind und für alle und gilt. Mit dieser Begriffsbildung kann man folgende Formel für die maximale C*-Norm aufstellen:
Für zwei C*-Algebren und und aus dem algebraischen Tensorprodukt gilt
Siehe auch
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de Seite zurück© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 28.01. 2019