Verschiebungssatz (Statistik)
Der Verschiebungssatz (auch Satz von Steiner genannt) ist eine Rechenregel für die Ermittlung der Summe quadratischer Abweichungen vom arithmetischen Mittel.
Kurzgefasst besagt er, dass für Zahlen und deren arithmetisches Mittel gilt:
- .
Der Verschiebungssatz erleichtert beispielsweise die Berechnung der empirischen Varianz, wenn Messwerte fortlaufend anfallen. Es ist dann weder nötig, alle abzuspeichern (Speicher), noch nochmals alle Summanden durchzulaufen (Rechenzeit). Bei Verwendung dieser Formel mit begrenzter Rechengenauigkeit kann es jedoch zu einer numerischen Auslöschung kommen, wenn erheblich größer ist als die Varianz.
Erläuterung am Fall einer endlichen Folge von Zahlen: Das Stichprobenmittel
Der Verschiebungssatz wird zunächst am einfachsten Fall vorgeführt: Es seien die Werte gegeben, beispielsweise eine Stichprobe. Es wird die Summe der quadratischen Abweichungen dieser Werte gebildet:
wobei
das arithmetische Mittel der Zahlen ist. Der Verschiebungssatz ergibt sich aus
-
- .
Beispiel
Im Rahmen der Qualitätssicherung werden fortlaufend Kaffeepäckchen gewogen. Für die ersten vier Päckchen erhielt man die Werte (in g)
Das durchschnittliche Gewicht beträgt
Es ist
Für die Anwendung des Verschiebungssatzes berechnet man
und
Man kann damit beispielsweise die empirische Varianz bestimmen:
im Beispiel
Kommt nun ein weiteres Päckchen in die Stichprobe, so reicht es zur Neuberechnung der Stichprobenvarianz mit Hilfe des Verschiebungssatzes, lediglich die Werte für und neu zu berechnen. Beim fünften Päckchen werde das Gewicht 510 g gemessen. Dann gilt:
- sowie
Die Stichprobenvarianz der neuen, größeren Stichprobe ist dann
Anwendungen
Stichprobenkovarianz
Die Stichprobenkovarianz zweier Merkmale und ist gegeben durch
Hier ergibt der Verschiebungssatz
Die korrigierte Stichprobenkovarianz berechnet sich dann als
Zufallsvariable
Varianz
Die Varianz einer Zufallsvariablen
lässt sich mit dem Verschiebungssatz auch angeben als
Dieses Resultat wird auch als Satz von König-Huygens bezeichnet. Es ergibt sich aus der Linearität des Erwartungswertes:
Eine allgemeinere Darstellung des Verschiebungssatzes ergibt sich aus:
- .
- Man erhält bei einer diskreten Zufallsvariablen mit den Ausprägungen und der dazugehörigen Wahrscheinlichkeit dann für
- Mit der speziellen Wahl ergibt sich und die obige Formel
- Für eine stetige Zufallsvariable und der dazugehörigen Dichtefunktion ist
- Man erhält hier mit dem Verschiebungssatz
Kovarianz
Die Kovarianz zweier Zufallsvariablen und
lässt sich mit dem Verschiebungssatz als
angeben.
Für diskrete Zufallsvariablen erhält man für
entsprechend zu oben
mit als gemeinsamer Wahrscheinlichkeit, dass und ist.
Bei stetigen Zufallsvariablen ergibt sich mit als gemeinsamer Dichtefunktion von und an der Stelle und für die Kovarianz
entsprechend zu oben
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 10.03. 2020