Hölder-Mittel

In der Mathematik ist das Hölder-Mittel, der Höldersche Mittelwert (nach Otto Hölder, 1859–1937) oder das Potenzmittel (engl. u.A. (p-th) power mean) ein (manchmal auch der) verallgemeinerter Mittelwert. Die Bezeichnung ist uneinheitlich, Bezeichnungen wie das -te Mittel, Mittel der Ordnung oder vom Grad oder mit Exponent sind auch im Umlauf. Im Englischen wird es auch als generalized mean bezeichnet.

Ebenso uneinheitlich sind die Schreibweisen, statt H_p wird auch M_p(x) , $m_{p}(x)$ oder $\mu_p(x)$ geschrieben.

Das Hölder-Mittel verallgemeinert die seit dem Altertum bekannten Mittelwerte wie das arithmetische, geometrische, quadratische und harmonische Mittel durch Einführung eines Parameters

Definition

Für eine reelle Zahl $p\neq 0$ wird das Hölder-Mittel der Zahlen $x_1,\ldots,x_n\geq 0$ zur Stufe definiert als

$M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}^p \right)^{1/p} = \sqrt[p]{\frac{x_1^p+x_2^p+\ldots+x_n^p}n}$ ,

wobei die Wurzelschreibweise üblicherweise nur für natürliche Zahlen verwendet wird.

Eine dazu passende Definition für p=0 ist

$M_0(x_1,\ldots,x_n):=\lim_{s\to 0}M_s(x_1,\ldots,x_n).$

Eigenschaften

Das Hölder-Mittel ist homogen bezüglich $x_1\ldots,x_n$ , das heißt

$M_p(\alpha\, x_1,\ldots,\alpha\, x_n)=\alpha\cdot M_p(x_1,\ldots,x_n)$

Außerdem gilt

$M_p(x_1,\dots,x_{n\cdot k}) = M_p(M_p(x_1,\dots,x_{k}), M_p(x_{k+1},\dots,x_{2\cdot k}), \dots, M_p(x_{(n-1)\cdot k + 1},\dots,x_{n\cdot k}))$

Eine wichtige Ungleichung zu den Hölder-Mitteln ist

$p<q \quad \Rightarrow \quad M_p(x_1,\ldots,x_n)\le M_q(x_1,\ldots,x_n)$

Daraus folgt etwa (Spezialfälle) die Ungleichung der Mittelwerte

$\min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq {\bar {x}}_{\mathrm {harm} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {geom} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {arithm} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {quadr} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {kubisch} }\leq \max(x_{1},\ldots ,x_{n})$

Die Potenzmittelwerte stehen mit den Stichprobenmomenten $m_{p}$ um Null recht einfach in Beziehung:

$\bar{x}(p)=\sqrt[p]{m_p}$

In der Stochastik wird die Konvergenz im p-ten Mittel über diese Potenzmittelwerte definiert.

Spezialfälle

Grafische Darstellung verschiedener Mittelwerte zweier Werte a, b

Mittels Wahl eines geeigneten Parameters ergeben sich die bekannten Mittelwerte:

	$\lim_{p\to-\infty}$	$M_p(x_1,\dots,x_n)$	$= \min \{x_1,\dots,x_n\}$	Minimum
$p=-1$		$M_{-1}(x_1,\dots,x_n)$	$=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}$	Harmonisches Mittel
	$\lim_{p\to 0}$	$M_p(x_1,\dots,x_n)$	$=\sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}$	Geometrisches Mittel
		$M_1(x_1,\dots,x_n)$	$=\frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$	Arithmetisches Mittel
		$M_2(x_1,\dots,x_n)$	$=\sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}}$	Quadratisches Mittel
		$M_3(x_1,\dots,x_n)$	$=\sqrt[3]{\frac{x_1^3 + \dots + x_n^3}{n}}$	Kubisches Mittel
	$\lim_{p\to\infty}$	$M_p(x_1,\dots,x_n)$	$=\max \{x_1,\dots,x_n\}$	Maximum

Weitere Verallgemeinerungen

Gewichtetes Hölder-Mittel

Auch zu dem Hölder-Mittel lässt sich ein gewichtetes Mittel definieren: Das gewichtete Hölder-Mittel lässt sich mit den Gewichten $\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n$ mit $\omega_1+\omega_2+\ldots+\omega_n=1$ definieren als

${M_\omega}^p=\left(\omega_1\cdot x_1^p+\omega_2\cdot x_2^p+\ldots+\omega_n\cdot x_n^p\right)^{1/p},$

wobei für das ungewichtete Hölder-Mittel $\omega_1=\omega_2=\ldots=\omega_n=\tfrac1n$ verwendet wird.

f-Mittel

Das Hölder-Mittel lässt sich weiter verallgemeinern zu

$M_f(x_1,\dots,x_n) = f^{-1} \left({\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right)$

bzw. gewichtet zu

$M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\sum _{i=1}^{n}{\omega _{i}f(x_{i})}}\right)$

Dabei ist eine Funktion von ; das Hölder-Mittel verwendet $\, f(x)=x^p$ .

Weitere Beispiele:

Sind $x_1,\ldots,x_n\geq 0$ die Renditen einer Kapitalanlage in den Jahren bis , so erhält man die mittlere Rendite als -Mittel der einzelnen Renditen zur Funktion $\,f(x)=\ln(1+x)$ .
Sind $x_{1},\ldots ,x_{n}$ die Alter von Personen, so erhält man das versicherungstechnische Durchschnittsalter als -Mittel der einzelnen Alter zur Funktion $\,f(x)=\mu _{x}$ ; dabei bedeutet $\,\mu _{x}$ die Sterbeintensität. In der Praxis ist das summengewichtete versicherungstechnische Durchschnittsalter relevant, hier werden die Alter der versicherten Personen mit den jeweiligen Versicherungssummen gewichtet; die Sterbeintensität wird oft durch die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit $\,q_{x}$ ersetzt.

Siehe auch

Mittelwert

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de