Korrelationsmatrix

In der Statistik ist die Korrelationsmatrix eine symmetrische und positiv semidefinite Matrix, die die Korrelation zwischen den jeweiligen Regressoren erfasst. Die Korrelationsmatrix ist mit der Varianz-Kovarianz-Matrix verwandt.

Definition

Die Korrelationsmatrix als Matrix aller paarweisen Korrelationskoeffizienten der Elemente eines Zufallsvektors {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{K})} enthält Informationen über die Korrelationen zwischen seinen Komponenten:

{\displaystyle {\boldsymbol {R}}\equiv \operatorname {Corr} (\mathbf {X} )=\left({\text{diag}}({\boldsymbol {\Sigma }})\right)^{-1/2}\,{\boldsymbol {\Sigma }}\,\left({\text{diag}}({\boldsymbol {\Sigma }})\right)^{-1/2}={\begin{pmatrix}\rho _{1,1}&\rho _{1,2}&\cdots &\rho _{1,K}\\\\\rho _{2,1}&\rho _{2,2}&\cdots &\rho _{2,K}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\rho _{K,1}&\rho _{K,2}&\cdots &\rho _{K,K}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\rho _{1,2}&\cdots &\rho _{1,K}\\\\\rho _{2,1}&1&\cdots &\rho _{2,K}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\rho _{K,1}&\rho _{K,2}&\cdots &1\end{pmatrix}}}

mit den (Produkt-Moment)-Korrelationskoeffizienten:

{\displaystyle \rho _{i,j}={\frac {\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})}{\sqrt {\operatorname {Var} (X_{i})\operatorname {Var} (X_{j})}}}}

und der Varianz-Kovarianzmatrix {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}.

Eigenschaften

Schätzung

Eine Schätzung der Korrelationsmatrix erhält man durch die Verwendung der empirischen Korrelationskoeffizienten {\displaystyle r_{i,j}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\boldsymbol {R}}}={\widehat {\operatorname {Corr} (\mathbf {X} )}}&={\begin{pmatrix}1&r_{1,2}&\cdots &r_{1,K}\\\\r_{2,1}&1&\cdots &r_{2,K}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\r_{K,1}&r_{K,2}&\cdots &1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}.

Siehe auch

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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 14.01. 2018