Ljapunow-Bedingung
Die Ljapunow-Bedingung ist in der Stochastik ein Kriterium an eine Folge von Zufallsvariablen. Sie ist neben der allgemeineren Lindeberg-Bedingung eine der beiden klassischen hinreichenden Voraussetzungen für die Konvergenz in Verteilung der Folge gegen die Standardnormalverteilung und gehört somit in den Themenbereich der zentralen Grenzwertsätze. Sie kann auch für Schemata von Zufallsvariablen formuliert werden und geht auf den russischen Mathematiker Alexander Michailowitsch Ljapunow zurück.
Formulierung für Folgen von Zufallsvariablen
Seien eine Folge von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen mit
- und für alle .
Dabei können die Zufallsvariablen auch unterschiedliche Verteilungen besitzen. Zudem bezeichne
die Summe der Varianzen der .
Die Folge der Zufallsvariablen genügt der Ljapunow-Bedingung nun genau dann, wenn ein existiert, so dass
gilt.
Formulierung für Schemata von Zufallsvariablen
Gegeben sei ein unabhängiges zentriertes Schema von Zufallsvariablen , bei dem jede Zufallsvariable quadratintegrierbar ist und seien
die Summen über die zweiten Indizes. Das Schema erfüllt nun die Ljapunow-Bedingung, wenn ein existiert, so dass
ist.
Beziehung zur Lindeberg-Bedingung
Die Ljapunow-Bedingung impliziert immer die Lindeberg-Bedingung, der Umkehrschluss gilt aber im Allgemeinen nicht. Daher wird sie häufiger in der Literatur behandelt.
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Die Aussage, dass die Ljapunow-Bedingung hinreichend ist für die Konvergenz in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung, wird in der Literatur als Satz von Ljapunow oder Zentraler Grenzwertsatz von Ljapunow bezeichnet. Vollständig formuliert lautet er:
- Genügt eine Folge
von stochastisch unabhängigen reellwertigen Zufallsvariablen mit endlichen
zweiten Momenten der Ljapunow-Bedingung, so konvergiert die reskalierte Folge
der zentrierten Zufallsvariablen in Verteilung gegen die
Standardnormalverteilung:
Er wurde 1901 von Alexander Michailowitsch Ljapunow gezeigt und 1922 Jarl Waldemar Lindeberg durch das Lindeberg-Theorem, welches auf die Lindeberg-Bedingung zurückgreift, verallgemeinert.
Basierend auf einem Artikel in Wikipedia.deSeite zurück
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.04. 2019