Quotientenmodul

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein Quotientenmodul oder Faktormodul eine der grundlegenden Konstruktionen der Theorie der Moduln. Zu einem Modul und einem Untermodul $N\subseteq M$ ist der Quotientenmodul $M/N$ das im Wesentlichen eindeutig bestimmte Ziel eines surjektiven Homomorphismus $M\to M/N$ mit Kern .

Quotientenmoduln sind das Analogon der Begriffe Faktorraum in der Theorie der Vektorräume sowie Faktorgruppe in der Gruppentheorie.

Definition

Es sei ein Ring. Zu einem -(Links-)Modul und einem Untermodul $N\subseteq M$ ist der Quotientenmodul $M/N$ die Menge der Äquivalenzklassen von Elementen von nach der Äquivalenzrelation

$m_{1}\equiv m_{2}\mod N\iff m_{1}-m_{2}\in N$

mit der eindeutig bestimmten Modulstruktur, für die die kanonische surjektive Abbildung $M\to M/N$ ein Homomorphismus ist:

$a\cdot (m+N)=am+N.$

Eigenschaften

Isomorphiesätze: Für zwei Untermoduln eines Moduls gilt

$M/(M\cap N)\cong (M+N)/N.$

Für Untermoduln $N\subseteq Q\subseteq P$ gilt

$(P/N)/(Q/N)\cong P/Q.$

Es gibt eine kanonische Entsprechung zwischen Isomorphieklassen von Monomorphismen mit Ziel und Isomorphieklassen von Epimorphismen mit Quelle ; einem Monomorphismus $i\colon N\to M$ entspricht der Quotientenmodul $M/i(N)$ , einem Epimorphismus $p\colon M\to Q$ der Untermodul $\ker p$ .
Ist ein Modul endlich erzeugt, oder hat er eine endliche Länge, so gilt dies auch für jeden Quotientenmodul.
Ist -Algebra, so ist

$B\otimes _{A}(M/N)\cong (B\otimes _{A}M)/U;$

dabei steht für das Bild von $B\otimes _{A}N$ in $B\otimes _{A}M$ .

Ist ein (zweiseitiges) Ideal in , so ist der Faktormodul dasselbe wie der Faktorring .

Basierend auf einem Artikel in:

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