Spiegelungsmatrix

Als Spiegelungsmatrix bezeichnet man in der linearen Algebra eine Matrix, die eine Spiegelung darstellt. Das einfachste Beispiel ist die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden g in der Ebene mit dem Neigungswinkel \alpha . Die Spiegelungsabbildung ergibt sich als Matrix-Vektor-Produkt der Matrix mit dem entsprechenden Vektor.

Spiegelung an einer ebenen Ursprungsgeraden

Die Matrix einer Spiegelung S_{g} an einer Ursprungsgeraden mit dem Winkel \alpha zur positiven x-Achse ist:

S_{g}={\begin{pmatrix}\cos 2\alpha &\sin 2\alpha \\\sin 2\alpha &-\cos 2\alpha \end{pmatrix}}.

Spiegelung an einer beliebigen ebenen Geraden

Damit lässt sich auch eine Darstellung der Spiegelung eines Vektors {\vec {v}} an einer beliebigen Geraden g={\vec  a}+r\cdot {\vec  u} mit Neigungswinkel \alpha darstellen. Hierzu sind zwei Schritte durchzuführen:

  1. Es wird auf eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden g^{*}=r\cdot {\vec  u} zurückgeführt. Dies wird durch Verschiebung von g um -{\vec  a} erreicht: {\vec  v}'={\vec  v}-{\vec  a}. Der Vektor {\vec  v}' wird nun an g^{*} gespiegelt:
    {\vec  q}'=S_{g}({\vec  v}')=S_{g}({\vec  v}-{\vec  a})={\begin{pmatrix}\cos 2\alpha &\sin 2\alpha \\\sin 2\alpha &-\cos 2\alpha \end{pmatrix}}\cdot ({\vec  v}-{\vec  a})
  2. Verschiebung von {\vec  q}' um den Stützvektor {\vec {a}} der Ausgangsgeraden g
    {\vec  q}={\vec  q}'+{\vec  a}={\begin{pmatrix}\cos 2\alpha &\sin 2\alpha \\\sin 2\alpha &-\cos 2\alpha \end{pmatrix}}\cdot ({\vec  v}-{\vec  a})+{\vec  a}

Allgemeinere Spiegelungen

Spiegelungsmatrizen sind orthogonale Matrizen und haben die Determinante −1.

Die Darstellungen von Spiegelungen an Hyperebenen werden in der numerischen Mathematik als Householder-Matrizen bezeichnet.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.07. 2020