Spiegelungsmatrix
Als Spiegelungsmatrix bezeichnet man in der linearen Algebra eine Matrix, die eine Spiegelung darstellt. Das einfachste Beispiel ist die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden in der Ebene mit dem Neigungswinkel . Die Spiegelungsabbildung ergibt sich als Matrix-Vektor-Produkt der Matrix mit dem entsprechenden Vektor.
Spiegelung an einer ebenen Ursprungsgeraden
Die Matrix einer Spiegelung an einer Ursprungsgeraden mit dem Winkel zur positiven x-Achse ist:
- .
Spiegelung an einer beliebigen ebenen Geraden
Damit lässt sich auch eine Darstellung der Spiegelung eines Vektors an einer beliebigen Geraden mit Neigungswinkel darstellen. Hierzu sind zwei Schritte durchzuführen:
- Es wird auf eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
zurückgeführt. Dies wird durch Verschiebung von
um
erreicht: .
Der Vektor
wird nun an
gespiegelt:
- Verschiebung von
um den Stützvektor
der Ausgangsgeraden
Allgemeinere Spiegelungen
Spiegelungsmatrizen sind orthogonale Matrizen und haben die Determinante −1.
Die Darstellungen von Spiegelungen an Hyperebenen werden in der numerischen Mathematik als Householder-Matrizen bezeichnet.
Literatur
- Wolfgang Mackens, Heinrich Voß: Mathematik. Für Studierende der Ingenieurwissenschaften. Band 1. HECO-Verlag, Aachen 1993, ISBN 3-930121-00-X.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.07. 2020