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Bildmaß

Ein Bildmaß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie und dient dazu, das Maß in einem Maßraum (\Omega ,\Sigma ,\mu ) auf einen anderen Raum (\Omega', \Sigma') zu übertragen. Hierbei werden mithilfe einer messbaren Funktion g\colon \Omega \to \Omega ' den Mengen in \Sigma' Werte zugeordnet. Das so auf \Omega ' definierte Maß ist das Bildmaß.

Eine wichtige Rolle spielt das Bildmaß insbesondere bei der Definition der Verteilung einer Zufallsvariablen.

Definition

Es sei (\Omega ,\Sigma ,\mu ) ein Maßraum und g\colon \Omega \to \Omega ' eine \Sigma {\text{-}}\Sigma '-messbare Funktion in einem Messraum (\Omega',\Sigma'). Dann ist

 \mu':=\mu \circ g^{-1} \colon \Sigma' \to [0,\infty], \quad \Sigma'\ni A' \mapsto \mu(g^{-1}(A'))\in[0,\infty]

ein Maß auf (\Omega',\Sigma'), das Bildmaß \mu' von \mu bezüglich g. Dabei bezeichnet g^{-1}(A') das Urbild von A'\in\Sigma'.

Anwendungsbeispiel

Für eine messbare Funktion f\colon \Omega '\to \overline {\mathbb{R} } (wobei \overline {\mathbb{R} }:=\mathbb{R} \cup \{-\infty ,+\infty \} die (affin) erweiterten reellen Zahlen bezeichnet) gilt der folgende Transformationssatz für messbare Mengen A\subseteq \Omega '\;:

{\displaystyle \int _{g^{-1}(A)}f\circ g\;\mathrm {d} \mu =\int _{A}f\;\mathrm {d} (\mu \circ g^{-1})},

wenn mindestens eines der beiden obigen Integrale definiert ist.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 17.12. 2017