Flächenformel

Unter der Flächenformel versteht man eine Integrationsregel für die Berechnung von Flächeninhalten m-dimensionaler Flächen im \mathbb {R} ^{n} (m\leq n). Hierbei wird vorausgesetzt, dass die m-dimensionale Fläche A \subset \R^n parametrisiert ist, d. h., es gibt eine auf einem Gebiet G\subset \mathbb{R} ^{m} definierte injektive differenzierbare Abbildung f\colon G\to \mathbb{R} ^{n} und eine messbare Teilmenge B\subset G, so dass A das Bild von B unter der Abbildung f> ist: A=f(B).

Dann gilt:

H^{m}(A)=\int _{B}{\sqrt  {\det(Df^{T}\,Df)}}\,dL^{m},

Dabei ist H^{m}(A) das m-dimensionale Hausdorff-Maß (der m-dimensionale Flächeninhalt) von A und L^{m} das m-dimensionale Lebesgue-Maß (Volumenmaß) im \mathbb {R} ^{m}. Der Integrand wird die verallgemeinerte Jacobi-Determinante von f genannt; Df ist die Ableitung (Funktionalmatrix) von f und Df^{T} deren Transponierte.

Eine allgemeinere Formulierung der Flächenformel lautet

\int _{A}g\,dH^{m}=\int _{B}(g\circ f){\sqrt  {\det(Df^{T}\,Df)}}\,dL^{m}

und liefert den Wert des Integrals einer auf der Fläche A definierten Funktion g nach dem Hausdorff-Maß H^{m}.

Als Voraussetzungen für diese Formeln sind L^{m}-Messbarkeit von B und H^{m}-Messbarkeit von g zu nennen, was allerdings keine wesentliche Einschränkung bedeutet, da alle in der Praxis vorkommenden Mengen bzw. Funktionen diese Eigenschaft besitzen.

Beide Formeln gelten in dieser Form nur, wenn die Abbildung f (bis auf eine Nullmenge) injektiv ist, denn auf der linken Seite wird jeder Bildpunkt nur einmal gerechnet, auf der rechten aber jeder Urbildpunkt.

Die Voraussetzung, dass die Funktion f differenzierbar ist kann abgeschwächt werden. Es genügt, wenn sie lipschitz-stetig ist; dann ist sie automatisch fast überall differenzierbar.

Im Spezialfall m=n ergibt die Flächenformel die Transformationsformel aus der Maß- und Integrationstheorie.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 27.12. 2017