Zusammenhangskomponente der Eins
Die Zusammenhangskomponente der Eins ist ein Begriff aus der Theorie der topologischen Gruppen, der in Mathematik und Physik besonders in der Theorie der Lie-Gruppen Anwendung findet.
Definition
Sei eine topologische Gruppe mit neutralem Element . Dann bezeichnet die Zusammenhangskomponente der Eins, also diejenige Zusammenhangskomponente von , die das neutrale Element enthält.
Eigenschaften
- ist eine abgeschlossene Teilmenge von .
- ist eine charakteristische Untergruppe von und insbesondere ein Normalteiler.
- Die Faktorgruppe ist eine total unzusammenhängende Hausdorffsche topologische Gruppe. Sie wird als Komponentengruppe von bezeichnet, ihre Elemente entsprechen den Zusammenhangskomponenten von .
- Wenn lokal wegzusammenhängend (zum Beispiel eine Lie-Gruppe) ist, dann ist offen.
- Wenn offen ist, dann ist diskret.
- Wenn eine algebraische Gruppe ist, dann ist endlich.
Beispiele
- Für die allgemeine lineare Gruppe ist die Untergruppe der Matrizen mit positiver Determinante. Die Komponentengruppe ist isomorph zur zyklischen Gruppe .
- Für ist .
- Für eine total unzusammenhängende Gruppe ist .
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.11. 2020