Satz von Malcev

Als Satz von Malcev wird in der Mathematik ein grundlegender Sachverhalt über Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe bezeichnet.

Satz von Malcev

Jede endlich erzeugte Untergruppe $\Gamma \subset GL(n,\mathbb {C} )$ ist residuell endlich, das heißt zu jedem $a\in \Gamma \setminus \left\{1\right\}$ gibt es einen Homomorphismus $\phi \colon \Gamma \rightarrow F$ auf eine endliche Gruppe mit $\phi (a)\not =1$ . (Äquivalent: zu jedem $a\in \Gamma \setminus \left\{1\right\}$ gibt es eine Untergruppe von endlichem Index $\Gamma ^{\prime }\subset \Gamma$ mit $a\notin \Gamma ^{\prime }$ .)

Dieser Satz wird auch als Lemma von Selberg bezeichnet, obwohl er zuerst von Malcev bewiesen wurde.

Eine topologische Interpretation: Sei eine 3-dimensionale hyperbolische Mannigfaltigkeit (oder allgemeiner ein nach $SL(n,\mathbb {C} )/SU(n)$ oder $SL(n,\mathbb{R} )/SO(n)$ modellierter lokal symmetrischer Raum), dann gibt es zu jeder geschlossenen Kurve $\gamma \subset M$ eine endliche Überlagerung ${\widehat {M}}\to M$ , in der die hochgehobene Kurve $\hat{\gamma}$ nicht geschlossen ist.

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