Planarer Graph

Planare Zeichnung des $K_{4}$

Ein planarer oder plättbarer Graph ist in der Graphentheorie ein Graph, der auf einer Ebene, mit Punkten für die Knoten und Linien für die Kanten, dargestellt werden kann, sodass sich keine Kanten schneiden.

Definition

Ein Graph G=(V,E) heißt planar oder plättbar, wenn er eine Einbettung in die Ebene besitzt; das heißt, er kann in der Ebene gezeichnet werden, so dass seine Kanten durch Jordan-Kurven repräsentiert werden, welche sich nur in gemeinsamen Endpunkten schneiden. Die Einbettung (auch Zeichnung) des Graphen ist ein ebener Graph Nach dem Satz von Wagner und Fáry existiert für jeden planaren Graphen auch eine Einbettung, in welcher seine Kanten als (geradlinige) Strecken dargestellt sind.

Durch die Einbettung wird die Ebene in zusammenhängende Gebiete (auch Flächen) geteilt, die von den Kanten des Graphen begrenzt werden. Die begrenzenden Kanten eines Gebietes bilden seinen Rand. Das unbeschränkte Gebiet um den Graphen herum wird äußeres Gebiet oder äußere Fläche genannt. Zwei Einbettungen heißen äquivalent, wenn es eine isomorphe Abbildung zwischen den Rändern ihrer Gebiete gibt.

Verwandte Begriffsbildungen

Beispiel eines außerplanaren Graphen; links planare Einbettung, rechts planare Einbettung, in der alle Knoten auf dem äußeren Gebiet liegen.

Ein Graph heißt maximal planar oder Dreiecksgraph, wenn er planar ist und ihm keine Kante hinzugefügt werden kann, ohne dass dadurch seine Planarität verloren geht.

Ein Graph heißt fast planar oder kritisch planar, wenn der Graph durch Entfernen eines beliebigen Knotens planar wird. Beispiel: K₅ ist fast planar.

Ein Graph heißt außerplanar (oft auch außenplanar oder kreisartig planar), wenn er sich so in die Ebene einbetten lässt, dass alle seine Ecken auf dem Rand ein und desselben Gebiets liegen.

Eigenschaften

Der Satz von Kuratowski gibt eine nicht-geometrische Charakterisierung von planaren Graphen und erlaubt die Beantwortung der Frage nach der Plättbarkeit von Graphen.
Aus dem eulerschen Polyedersatz ergibt sich, dass die Gebietsanzahl jeder Einbettung dieselbe ist.
Für einen planaren Graphen ohne Schleifen und Mehrfachkanten ergibt sich aus dem Polyedersatz die Abschätzung $|E|\leq 3|V|-6$ . Dies lässt sich für dreiecksfreie Graphen mit mindestens 3 Knoten noch auf die folgende Ungleichung verbessern: $|E|\leq 2|V|-4$
Ist ein planarer Graph 3-fach zusammenhängend, so sind alle seine Einbettungen (bis auf eine globale Umorientierung) äquivalent.
Ein planarer Graph mit $n\geq 3$ Knoten ist genau dann maximal planar, wenn er Kanten hat.
Ein planarer Graph kann höchstens 5-fach zusammenhängend sein und es gibt immer einen Knoten mit Knotengrad höchstens 5.
Nach dem Koebe-Andreev-Thurston-Theorem existiert für jeden planaren Graphen eine assoziierte Kreispackung, deren Kontaktgraph isomorph zum Ursprungsgraph ist.

Die Planarität eines Graphen lässt sich mit verschiedenen Algorithmen in linearer Zeit testen.

Verwendung

Die Untersuchung der Planarität von Graphen gehört zu den klassischen Themengebieten der Graphentheorie und wird auch oftmals als starke Voraussetzung für Sätze verwendet. So besagt der Vier-Farben-Satz, dass sich planare Graphen mit 4 Farben färben lassen. Dreiecksfreie planare Graphen sind 3-färbbar.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de