Satz über rationale Nullstellen
Der Satz über rationale Nullstellen (auch rationaler Nullstellentest oder Lemma von Gauß) ist eine Aussage über die rationalen Nullstellen ganzzahliger Polynome. Sie beinhaltet ein notwendiges Kriterium für die Existenz einer rationalen Nullstelle und liefert dabei eine endliche Menge rationaler Zahlen, in der alle rationalen Nullstellen enthalten sein müssen.
Aussage
Für jede rationale Nullstelle eines ganzzahligen Polynoms gilt, dass der Zähler ihrer gekürzten Darstellung das Absolutglied und der Nenner den Leitkoeffizienten des Polynoms teilt.
Seien also mit ein Polynom vom Grad und (wobei teilerfremd sind) eine rationale Nullstelle von , dann ist durch teilbar und durch teilbar.
Anmerkungen
Wenn der Leitkoeffizient des Polynoms den Betrag 1 besitzt, dann ist jede rationale Nullstelle eine ganze Zahl, die das Absolutglied teilt.[Note 1]
Der Satz lässt sich auch verwenden, um die rationalen Nullstellen rationaler Polynome zu berechnen. Denn wenn man ein rationales Polynom mit einem gemeinsamen Vielfachen der Nenner seiner Koeffizienten multipliziert, so erhält man ein ganzzahliges Polynom mit den gleichen Nullstellen, zu deren Bestimmung man nun den rationalen Nullstellentest anwenden kann.
Der Satz über rationale Nullstellen ergibt sich auch als Korollar zu einer auf Gauß zurückgehenden allgemeineren Aussage über Polynome über dem Quotientenkörper eines faktoriellen Ringes (siehe Lemma von Gauß).
Dieses Korollar besagt, dass sich jede Nullstelle im faktoriellen Ring eines Polynoms mit Koeffizienten in als Bruch in darstellen lässt, sodass der Zähler ein Teiler des Absolutgliedes und der Nenner ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.
Beispiele
- Aus dem rationalen Polynom erhält man durch Multiplikation mit 30 das ganzzahlige Polynom . Dessen rationale Nullstellen müssen dann in der Menge enthalten sein. Überprüft man nun alle diese Kandidaten durch Einsetzen in oder , so erhält man als Nullstellen , 1 und . Da als Polynom vom Grad 3 maximal drei paarweise verschiedene Nullstellen besitzen kann, existieren in diesem Fall auch keine weiteren irrationalen Nullstellen.
- Das Polynom besitzt keine rationale Nullstelle, da 1 und −1 die einzigen Teiler des Absolutglieds und des Leitkoeffizienten sind und und ist.
- Das Polynom
besitzt ganzzahlige Koeffizienten. Die Überprüfung für die Teiler
des konstanten Gliedes ergibt sich die Nullstelle .
Weil jede ganze Zahl auch eine gaußsche Zahl ist, lassen sich die Koeffizienten als gaußsche Zahlen interpretieren.
Wegen erhalten wir für die Teiler des konstanten Gliedes die komplexen Nullstellen und
Fußnote(n)
- ↑
Ist aber
dann hat das Polynom nach der Normierung
(Division durch den Leitkoeffizienten) rationale Koeffizienten. Die nicht
verschwindenden unter ihnen lassen sich in eindeutiger Weise in ein Produkt
von Primfaktoren mit ganzzahligen (auch negativen) Exponenten
zerlegen.
Nun lässt sich ein
so finden, dass nach einer linearen Transformation
im transformierten und normierten Polynom
- (Gaußklammer ).
Literatur
- Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: Höhere Mathematik 1. Springer, 6. Auflage 2006, ISBN 3-540-41850-4.
- Rolf Walter: Einführung in die Analysis 1. Walter de Gruyter 2007, ISBN 978-3-11-019539-2.)
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 26.12. 2021