Satz von Montel

Der Satz von Montel (nach Paul Montel) ist ein Satz aus der Funktionentheorie. Er beschäftigt sich mit der Fragestellung, wann eine Funktionenfolge holomorpher Funktionen eine kompakt konvergente Teilfolge besitzt. In diesem Sinne ist er das Analogon zum Satz von Bolzano-Weierstraß für Zahlenfolgen. Er wurde von Paul Montel im Jahre 1916 gefunden.

Aussage des Satzes

Grundlegend für die Formulierung ist das von Montel eingeführte Konzept der normalen Familie: Eine Familie {\mathcal {F}} holomorpher Funktionen heißt normal, wenn jede Folge in {\mathcal {F}} eine kompakt konvergente Teilfolge besitzt. Dabei wird Konvergenz bezüglich der sphärischen Metrik betrachtet, insbesondere ist Konvergenz gegen \infty zugelassen.

Kleiner Satz von Montel

Eine lokal gleichmäßig beschränkte Familie holomorpher Funktionen ist normal.

Großer Satz von Montel

Sei {\mathcal {F}} eine Familie von in einem Gebiet G holomorphen Funktionen und seien a,b\in {\mathbb  {C}}, a\neq b. Für alle f\in {\mathcal  {F}} und z\in G gelte f(z)\neq a,b. Dann ist {\mathcal {F}} normal.

Beweis des kleinen Satzes von Montel

Für den Beweis des kleinen Satzes von Montel benötigt man zunächst folgendes Lemma:

Lemma

(f_{n})_{{n\in {\mathbb  {N}}}} sei eine auf einem Gebiet G holomorphe und lokal gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge. Die Menge P=\{z\in G:\lim _{{n\rightarrow \infty }}f_{{n}}(z)\;{\mbox{existiert}}\} liege dicht in G.

Dann ist (f_{n})_{{n\in {\mathbb  {N}}}} kompakt konvergent.

Beweis (Lemma)

Wir wollen zeigen:

\forall z_{0}\in G:\ \exists r>0:\ \forall \epsilon >0:\ \exists n_{0}:\left|f_{n}(z)-f_{m}(z)\right|<\epsilon \quad \forall z\in B(z_{0},r),\forall m,n>n_{0},

wobei B(z_{0},r) die offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt z_{0} und Radius r bezeichnet.

Da die Funktionenfolge lokal gleichmäßig beschränkt ist, gilt:

\forall z_{0}\in G:\ \exists R>0,\exists M>0:\left|f_{n}(z)\right|\leq M\quad \forall z\in B(z_{0},R),\forall n\in {\mathbb  {N}}.

Wähle r={\frac  {R}{2}}.

Seien nun z,{\tilde  {z}}\in B(z_{0},r). Dann gilt (Cauchysche Integralformel):

{\displaystyle {\begin{aligned}\left|f_{n}(z)-f_{n}({\tilde {z}})\right|&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\left|w-z_{0}\right|=R}{\frac {f_{n}(w)}{w-z}}dw-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\left|w-z_{0}\right|=R}{\frac {f_{n}(w)}{w-{\tilde {z}}}}dw\right|\\&=\left|{\frac {z-{\tilde {z}}}{2\pi i}}\oint _{\left|w-z_{0}\right|=R}{\frac {f_{n}(w)}{(w-z)(w-{\tilde {z}})}}dw\right|\end{aligned}}}

Nun schätzt man das Integral durch die Länge der Kurve und das Maximum des Integranden ab (genaugenommen einer Abschätzung des Maximums):

\left|{\frac  {z-{\tilde  {z}}}{2\pi i}}\oint _{{\left|w-z_{0}\right|=R}}{\frac  {f_{n}(w)}{(w-z)(w-{\tilde  {z}})}}dw\right|\leq {\frac  {\left|z-{\tilde  {z}}\right|}{2\pi }}\cdot 2\pi R\cdot {\frac  {M}{r^{2}}}=R{\frac  {M}{r^{2}}}\left|z-{\tilde  {z}}\right|=2{\frac  {M}{r}}\left|z-{\tilde  {z}}\right|

Also gilt:

\left|f_{n}(z)-f_{n}({\tilde  {z}})\right|\leq 2{\frac  {M}{r}}\left|z-{\tilde  {z}}\right|

Nun liegt P dicht in G. Man kann also für jedes vorgegebene ε endlich viele p_{i} aus P wählen, sodass die ε Umgebungen ganz B(z_{0},r) überdecken. (Da B(z_{0},r) kompakt ist, reichen endlich viele.) Hier wählen wir unser ε genau so, dass wir dann in Kombination mit der oberen Abschätzung genau \epsilon /3 erhalten.

\exists p_{1},\dots p_{k}\in B(z_{0},r):\ \forall z\in B(z_{0},r):\ \exists a_{j}:\ \left|z-a_{j}\right|<{\frac  {\epsilon }{3}}{\frac  {r}{(2M)}}

\left|f_{n}(z)-f_{m}(z)\right|\leq \left|f_{n}(z)-f_{n}(p_{j})\right|+\left|f_{n}(p_{j})-f_{m}(p_{j})\right|+\left|f_{m}(p_{j})-f_{m}(z)\right|\quad n,m>n_{0}

p_{j} sei das zu z nächstgelegene p_{i}. Dann kann man mittels der oberen zwei Abschätzungen den ersten und letzten Summanden jeweils mit \epsilon /3 abschätzen. Da die f_{n} ja auf den a_{j} punktweise konvergieren, ist auch der mittlere Term (für hinreichend großes n) kleiner als \epsilon /3.

So erhalten wir:

\forall z\in G:\ \exists r>0:\ \forall \epsilon >0:\exists n_{0}:\left|f_{n}(z)-f_{m}(z)\right|\leq \epsilon \quad \forall z\in B(z_{0},r),\forall m,n>n_{0}

Beweis (Satz von Montel)

Um das obere Lemma verwenden zu können, wählen wir zunächst eine abzählbare dichte Teilmenge \{p_{1},p_{2},\dots \} des Gebietes G. (z.B.: Nur jene z\in G mit rationalen Real- und Imaginärteil)

Nun betrachten wir die Folge (f_{n})_{{n\in {\mathbb  {N}}}} an der Stelle p_{1}. Da die Folge lokal gleichmäßig beschränkt ist, folgt mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß, dass eine Teilfolge f_{{n_{k}}} existiert, sodass f_{{n_{k}}}(p_{1}) konvergiert. Wir bezeichnen diese Folge mit (f_{{1,j}})_{{j\in {\mathbb  {N}}}}.

Nun kann man diese Funktionenfolge im Punkt p_{2} betrachten. Mit dem gleichen Argument wie oben erhält man, dass es eine im Punkt p_{2} konvergente Teilfolge (f_{{2,j}})_{{j\in {\mathbb  {N}}}} gibt.

So definiert man induktiv die Funktionenfolgen (f_{{i,j}})_{{j\in {\mathbb  {N}}}}.

Nun betrachtet man die Diagonalfolge (f_{{n,n}})_{{n\in {\mathbb  {N}}}}. Diese konvergiert für alle p_{i}\in P nach dem Cantor'schem Diagonalfolge-Verfahren und ist daher nach dem Lemma auch kompakt konvergent auf dem Gebiet G.

Literatur

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 23.11. 2020