Beschränkte stetige Funktion
Die beschränkten stetigen Funktionen sind eine Klasse von Funktionen, die vielfältige Anwendungen in der Funktionalanalysis oder der Maßtheorie haben. So treten sie beispielsweise als trennende Familie der endlichen Maße auf der Borelschen σ-Algebra eines metrischen Raumes auf, wo sie zur Definition der schwachen Konvergenz von Maßen genutzt werden. Außerdem finden sie beispielsweise Verwendung bei dem Darstellungssatz von Riesz-Markow.
Definition
Gegeben sei ein topologischer Raum sowie ein metrischer Raum . Dann heißt eine Funktion
eine beschränkte stetige Funktion, wenn ihr Bild beschränkt ist, also
gilt, und sie stetig ist, also Urbilder offener Mengen (bezüglich der von erzeugten Topologie) wieder offen sind, sprich in enthalten sind.
Sind auf der Definitions- und Bildmenge stärkere Strukturen definiert (beispielsweise ein metrischer oder ein normierter Raum als Definitionsmenge oder ein normierter Raum als Bildmenge), so werden die Definitionen der Stetigkeit und der Beschränktheit dementsprechend angepasst.
Die Menge alle stetigen, beschränkten Funktionen wird mit bezeichnet oder einfach mit , wenn oder , wenn alle beteiligten Räume klar sind.
Struktur
Ist ein Vektorraum, so lässt sich die Addition und die Skalarmultiplikation auf punktweise erklären als
- .
Damit ist dann auch ein Vektorraum. Ist zusätzlich mit einer Norm versehen, also ein normierter Raum, so kann man den mit der Supremumsnorm
versehen, da alle Funktionen beschränkt sind und die Norm somit wohldefiniert.
Die beschränkten, stetigen Funktionen sind ein Unterraum der beschränkten Funktionen und enthalten als wichtige Unterräume die -Funktionen (die im Unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen), die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger und die Testfunktionen.
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de Seite zurück© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 22.09. 2017