Liouvillesche Formel

Die liouvillesche Formel (benannt nach Joseph Liouville (1809–1882)) ist eine Identität, welche die Determinante der Fundamentalmatrix eines linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssystems erster Ordnung mit der Spur der Koeffizientenmatrix verknüpft. Mit Hilfe der liouvilleschen Formel kann man beispielsweise die abelsche Identität leicht beweisen.

Aussage

Sei {\displaystyle J\subset \mathbb {R} } ein Intervall, {\displaystyle A\colon J\rightarrow \mathbb {R} ^{n\times n}} stetig und \Phi eine Matrixlösung von

{\displaystyle \ y'(x)=A(x)y(x)\ ,}

das heißt {\displaystyle \Phi \colon J\rightarrow \mathbb {R} ^{n\times n}} ist differenzierbar mit \Phi '(x)=A(x)\Phi (x). Dann gilt für alle {\displaystyle x,\,x_{0}\in J} die liouvillesche Formel

{\displaystyle \det \Phi (x)=\det \Phi (x_{0})\cdot \exp \left(\int _{x_{0}}^{x}{\rm {Spur}}(A(\xi )){\rm {d}}\xi \right)\ .}

Folgerungen

{\displaystyle \det(e^{xA})=e^{x\cdot {\textrm {Spur}}(A)}\ ,}
da \Phi Hauptfundamentalmatrixlösung für {\displaystyle y'(x)=Ay(x)} in {\displaystyle 0} ist.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 02.10. 2019