Lagrange-Identität (Randwertprobleme)
Die Lagrange-Identität, benannt nach Joseph Louis Lagrange (1736–1813), wird bei der Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, insbesondere bei Sturm-Liouville-Problemen, verwendet.
Definition
Die Lagrange-Identität für die Funktionen , aus der Differentiationsklasse und den Koeffizientenfunktionen , und ist gegeben durch den Sturm-Liouville-Operator
für den gilt:
wobei die Wronski-Determinante der Funktionen bedeutet.
Herleitung
Sei ein Sturm-Liouville-Differentialoperator, dann ist:
und
Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt:
Nun lassen sich unter Verwendung der Produktregel für Ableitungen, der Term bleibt hierbei unberücksichtigt, folgende Darstellungen berechnen und . Auf diese Weise wird erkennbar, dass der zweite Term in beiden Ableitungen gleich ist und bei der Differenzenbildung verschwindet, also:
Literatur
- Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg+Teubner 2009 (6. Auflage), ISBN 978-3-8348-0705-2
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 02.04. 2021