Lagrange-Identität (Randwertprobleme)

Die Lagrange-Identität, benannt nach Joseph Louis Lagrange (1736–1813), wird bei der Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, insbesondere bei Sturm-Liouville-Problemen, verwendet.

Definition

Die Lagrange-Identität für die Funktionen \phi , \psi aus der Differentiationsklasse {\displaystyle \phi ,\psi \in C^{2}((a,b),\mathbb {R} )} und den Koeffizientenfunktionen {\displaystyle w,q\in C^{0}((a,b),\mathbb {R} )}, {\displaystyle p\in C^{1}((a,b),\mathbb {R} )} und {\displaystyle p,q>0} ist gegeben durch den Sturm-Liouville-Operator

{\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{w}}\left(-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,p\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+q\right)}

für den gilt:

{\displaystyle {\begin{aligned}\phi {\mathcal {L}}\psi -\psi {\mathcal {L}}\phi &={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}p(\phi \psi '-\psi \phi '){\bigg )}\\&={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}pW(\phi ,\psi ){\bigg )}\end{aligned}}}

wobei {\displaystyle W(\phi ,\psi )} die Wronski-Determinante der Funktionen \phi ,\psi bedeutet.

Herleitung

Sei {\mathcal {L}} ein Sturm-Liouville-Differentialoperator, dann ist:

{\displaystyle \phi {\mathcal {L}}\psi =\phi {\frac {-1}{w}}{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)-q\psi {\bigg )},}

und

{\displaystyle \psi {\mathcal {L}}\phi =\psi {\frac {-1}{w}}{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right)-q\phi {\bigg )}.}

Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt:

{\displaystyle \phi {\mathcal {L}}\psi -\psi {\mathcal {L}}\phi =\phi {\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)-\psi {\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right).}

Nun lassen sich unter Verwendung der Produktregel für Ableitungen, der Term {\displaystyle {\tfrac {-1}{w}}} bleibt hierbei unberücksichtigt, folgende Darstellungen berechnen {\displaystyle \textstyle \phi {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p\phi {\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)-\left(p{\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right){\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}} und {\displaystyle \textstyle \psi {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p\psi {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right)-\left(p{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right){\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}}. Auf diese Weise wird erkennbar, dass der zweite Term in beiden Ableitungen gleich ist und bei der Differenzenbildung verschwindet, also:

{\displaystyle {\begin{aligned}\phi {\mathcal {L}}\psi -\psi {\mathcal {L}}\phi &={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p\phi {\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}\right)-{\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(p\psi {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right)\\\\&={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}p\left(\phi {\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} x}}-\psi {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}\right){\bigg )}\\\\&={\frac {-1}{w}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}pW(\phi ,\psi ){\bigg )}.\\\end{aligned}}}

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 02.04. 2021