Eulersche Differentialgleichung
Die eulersche Differentialgleichung (nach Leonhard Euler) ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten der speziellen Form
zu gegebenen und Inhomogenität . Kennt man ein Fundamentalsystem der homogenen Lösung, so kann man mit dem Verfahren der Variation der Konstanten die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung bestimmen. Daher braucht nur betrachtet zu werden.
Die eulersche Differentialgleichung wird mittels der Transformation in eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten überführt.
Motivation der Transformation
Sei eine genügend glatte Funktion und
- , also .
Dann gilt
also
Insofern würde sich die eulersche Differentialgleichung zweiter Ordnung in eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten transformieren. Es stellen sich nun folgende Fragen:
- Überführt diese Transformation auch die Terme höherer Ordnung in welche mit konstanten Koeffizienten?
- Wie kann man die Koeffizienten auf der rechten Seite einfacher ausrechnen, ohne jedes Mal die Transformation genügend oft abzuleiten?
Diese Fragen werden durch den folgenden Transformationssatz geklärt:
Der Transformationssatz
Sei Lösung der linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Dann ist
eine Lösung der (homogenen) eulerschen Differentialgleichung
Erläuterung zur Notation
Hierbei werden zunächst die Differentialoperatoren miteinander (vergleichbar dem Ausmultiplizieren) verknüpft, bevor sie auf eine Funktion angewandt werden, beispielsweise:
Beweis
Zu zeigen ist lediglich für alle . Dies geschieht mittels vollständiger Induktion. Der Induktionsanfang ist trivial. Unter Voraussetzung der Gültigkeit der Identität für kann diese Identität differenziert werden. Es ergibt sich
Anwenden der Induktionsvoraussetzung impliziert
Folgerung: Konstruktion eines Fundamentalsystems
Die charakteristische Gleichung für die Differentialgleichung von lautet
Bezeichnen nun die Nullstellen des charakteristischen Polynoms und die Vielfachheit von , so bildet
ein Fundamentalsystem der Gleichung für . Also ist
ein Fundamentalsystem der (homogenen) eulerschen Differentialgleichung.
Beispiel
Gegeben sei die eulersche Differentialgleichung
Zu lösen ist nach obigem Satz zunächst die folgende lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
also
Das zu dieser Differentialgleichung gehörige charakteristische Polynom lautet
und besitzt die Nullstellen
Fall 1: , beide reell.
Dann ist ein Fundamentalsystem für die transformierte lineare Differentialgleichung. Die Rücktransformation liefert, dass ein Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung ist.
Fall 2: .
Dann ist eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Daher ist ein Fundamentalsystem für die transformierte lineare Differentialgleichung. Die Rücktransformation liefert, dass ein Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung ist.
Fall 3: beide nicht reell.
Dann sind komplex konjugiert zueinander. Also ist ein (komplexes) Fundamentalsystem. Sei , . Dann ist ein reelles Fundamentalsystem der transformierten linearen Differentialgleichung. Rücktransformation liefert als Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung.
Literatur
- Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg + Teubner, Stuttgart 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2.
© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 19.09. 2022