Resolvente

In Mathematik und Theoretischer Physik ist die Resolvente (manchmal auch Greenscher Operator genannt) die Inverse eines mit einer komplexen Zahl z verschobenen linearen Operators oder einer Matrix. Die Menge der Werte z, für die diese Inverse wohldefiniert ist, ist die Resolventenmenge des Operators; das Komplement dieser Menge ist sein Spektrum. Anwendungen betreffen alle Aspekte der Operatortheorie in der Funktionalanalysis, insbesondere die Störungsrechnung.

Definition

Für einen linearen Operator A (oder auch eine Matrix A\in {\mathbb  {C}}^{{n\times n}}) definiert man die Resolventenmenge \rho (A) als das Komplement des Spektrums von A, d.h. als die Menge aller komplexen Zahlen z, für die der Operator zI-A beschränkt invertierbar ist. Die Resolventenmenge ist als Komplement des Spektrums offen. Auf der Resolventenmenge definiert man die Resolvente durch

R\left(A,z\right)=(zI-A)^{{-1}}\ .

Viele Autoren verwenden als Definition der Resolvente R\left(A,z\right)=(A-zI)^{{-1}}, was lediglich das Vorzeichen invertiert.

Eigenschaften und Anwendungen

Die Resolvente ist eine operatorwertige analytische Funktion und kann auf \{z\in {\mathbb  {C}}:|z|>r\}, wobei r der Spektralradius ist, durch die Neumannsche Reihe dargestellt werden:

R\left(A,z\right)=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac  {A^{n}}{z^{{n+1}}}}.

Die Resolvente wird u.a. verwendet, um Eigenwertentwicklungen von gestörten Operatoren zu beschreiben, zum Beispiel die Entwicklungen von Franz Rellich-Tosio Kato und John William Strutt, 3. Baron Rayleigh-Schrödinger.

Resolventenidentitäten

Hilfreich bei Berechnungen sind die erste und zweite Resolventenidentität. Aus \left(z_{1}-z_{2}\right)I=z_{1}I-A-(z_{2}I-A) folgt mittels Inversion die erste Resolventenidentität

R\left(A,z_{2}\right)-R(A,z_{1})=(z_{1}-z_{2})R(A,z_{1})R(A,z_{2})=(z_{1}-z_{2})R(A,z_{2})R(A,z_{1}),

und aus A_{1}-A_{2}=zI-A_{2}-\left(zI-A_{1}\right) folgt mittels Inversion die zweite Resolventenidentität

R\left(A_{1},z\right)-R(A_{2},z)=R(A_{1},z)(A_{1}-A_{2})R(A_{2},z).

Siehe auch

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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 21.08. 2021