Resolvente
In Mathematik und Theoretischer Physik ist die Resolvente (manchmal auch Greenscher Operator genannt) die Inverse eines mit einer komplexen Zahl z verschobenen linearen Operators oder einer Matrix. Die Menge der Werte z, für die diese Inverse wohldefiniert ist, ist die Resolventenmenge des Operators; das Komplement dieser Menge ist sein Spektrum. Anwendungen betreffen alle Aspekte der Operatortheorie in der Funktionalanalysis, insbesondere die Störungsrechnung.
Definition
Für einen linearen Operator (oder auch eine Matrix ) definiert man die Resolventenmenge als das Komplement des Spektrums von , d.h. als die Menge aller komplexen Zahlen , für die der Operator beschränkt invertierbar ist. Die Resolventenmenge ist als Komplement des Spektrums offen. Auf der Resolventenmenge definiert man die Resolvente durch
Viele Autoren verwenden als Definition der Resolvente , was lediglich das Vorzeichen invertiert.
Eigenschaften und Anwendungen
Die Resolvente ist eine operatorwertige analytische Funktion und kann auf , wobei der Spektralradius ist, durch die Neumannsche Reihe dargestellt werden:
- .
Die Resolvente wird u.a. verwendet, um Eigenwertentwicklungen von gestörten Operatoren zu beschreiben, zum Beispiel die Entwicklungen von Franz Rellich-Tosio Kato und John William Strutt, 3. Baron Rayleigh-Schrödinger.
Resolventenidentitäten
Hilfreich bei Berechnungen sind die erste und zweite Resolventenidentität. Aus folgt mittels Inversion die erste Resolventenidentität
und aus folgt mittels Inversion die zweite Resolventenidentität
Siehe auch
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de Seite zurück© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 21.08. 2021