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Kontraktion (Mathematik)

Eine Kontraktion ist in der Analysis und verwandten Gebieten der Mathematik eine Abbildung einer Menge M in sich selbst, die die Abstände zwischen zwei beliebigen Punkten von M mindestens so stark verringert wie eine zentrische Streckung mit einem festen Streckungsfaktor \lambda <1, also die Menge bei mehrfacher Anwendung „in sich zusammenzieht“ (kontrahiert). Anschaulich erscheint klar, dass durch fortgesetzte Anwendung einer solchen Kontraktion die Ausgangsmenge nach und nach auf eine „beliebig kleine“ Teilmenge abgebildet wird und sich schließlich (könnte man nur unendlich oft abbilden) auf einen Punkt zusammenzieht. Dass diese intuitive Vermutung in sehr allgemeinen Fällen in einem präzisierten Sinn zutrifft, lässt sich mathematisch beweisen. Sätze, die Aussagen machen über die Existenz des „Grenzpunktes“, auf den die Kontraktion zustrebt, seine Berechnung und den Näherungsfehler nach endlich vielen Schritten (Iterationen) dieser Annäherung, werden als Kontraktionssätze oder Fixpunktsätze bezeichnet.

Definition

(M,d) sei ein metrischer Raum. Eine Abbildung \varphi \colon M\to M heißt Kontraktion, wenn es eine Zahl \lambda \in [0,1) gibt, mit der für alle x,y\in M gilt:

d\left(\varphi (x),\varphi (y)\right)\leq \lambda \cdot d(x,y).

Man nennt die Abbildung dann auch kontrahierend oder auch kontraktiv auf M.

Anders ausgedrückt: Die Abbildung \varphi ist genau dann eine Kontraktion, wenn sie

  1. die Menge M in sich abbildet und
  2. eine Lipschitz-Bedingung mit der Lipschitz-Konstanten \lambda \in [0,1) erfüllt.

Anwendung: Reeller Kontraktionssatz

Eine kontrahierende Selbstabbildung f eines Intervalles I=[a,b] besitzt genau einen Fixpunkt \xi . Dieser kann durch die Iterationsfolge x_{n+1}:=f(x_{n}) mit einem beliebigen Startwert x_{0}\in I berechnet werden. Für die Glieder der Iterationsfolge gilt die Fehlerabschätzung |x_{n}-\xi |\leq {\frac {\lambda ^{n}}{1-\lambda }}|x_{1}-x_{0}|.

Eine Verallgemeinerung dieses Satzes ist der Fixpunktsatz von Banach.

Beispiele

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 01.01. 2018