Algebraisch konjugiert

Algebraisch konjugiert nennt man Elemente eines Körpers, wenn sie bezüglich eines Unterkörpers dasselbe Minimalpolynom haben.

Definition

Seien L/K eine Körpererweiterung und K[x] der Polynomring zu mit der Unbestimmten . Die Elemente $a, b \in L$ seien algebraisch über , das heißt, es existieren $0\neq q(x), p(x)\in K[x]$ mit p(a)=q(b)=0 .

Dann heißen und algebraisch konjugiert über , wenn und dasselbe Minimalpolynom über haben.

Ist der Zusammenhang klar, spricht man auch kürzer nur von „konjugiert“.

Eigenschaften

und sind genau dann konjugiert über dem Körper , wenn für alle $p(x)\in K[x]$ gilt, dass $p(a)=0\Leftrightarrow p(b)=0$ .
Sei eine endliche Körpererweiterung mit für ein $b\in L\setminus K$ . Dann sind $a, b\in L$ genau dann konjugiert über dem Körper , wenn es ein Element $\varphi$ in der Galoisgruppe $\mathrm {Gal} (L/K)$ gibt mit $\varphi(a)=b$ .

Beispiele

Die komplexen Zahlen und haben über $\mathbb {R}$ beide das Minimalpolynom $\textstyle x^{2}+1$ und sind daher algebraisch konjugiert über $\mathbb {R}$ . Über $\mathbb {C}$ haben sie natürlich die Minimalpolynome bzw. und sind nicht konjugiert.
Allgemeiner gilt: Zwei komplexe Zahlen und mit $b,d\neq 0$ sind genau dann algebraisch konjugiert über $\mathbb {R}$ , wenn sie durch komplexe Konjugation auseinander hervorgehen, also gilt. Das gemeinsame Minimalpolynom ist in diesem Fall .
Die Goldene Zahl $\Phi$ und ihr negativer Kehrwert sind konjugiert über dem Körper $\mathbb {Q}$ . Sie sind Lösungen des Minimalpolynoms $\textstyle x^2 - x -1$ .
Die zu $x_{1}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ algebraisch Konjugierten erhält man wie folgt: Aus