Polynomialzeit

In der Komplexitätstheorie bezeichnet man ein Problem als in Polynomialzeit lösbar, wenn die benötigte Rechenzeit einer deterministischen Rechenmaschine mit der Problemgröße nicht stärker als mit einer Polynomfunktion wächst. Die besondere Bedeutung der Polynomialzeit besteht darin, dass man sie als eine Grenze zwischen praktisch lösbaren und praktisch nicht lösbaren Problemen betrachtet. Der Aufwand für Probleme, die nicht in Polynomialzeit lösbar sind, wächst im Allgemeinen so schnell, dass schon relativ geringe Problemgrößen mit verfügbaren Rechnern nicht in überschaubaren Zeiträumen gelöst werden können. Dieser Sachverhalt ist unabhängig vom technologischen Fortschritt, insoweit er die Geschwindigkeit deterministischer Rechner betrifft. Eine Sonderstellung nehmen Quantencomputer und DNA-Computer ein, da sie bestimmte nichtdeterministische Operationen ermöglichen.

Ob ein gegebenes Problem in Polynomialzeit lösbar ist, ist nicht von vornherein klar. So wurde erst 2002 von Agrawal, Kayal und Saxena ein Algorithmus (AKS-Primzahltest) angegeben, der in polynomieller Zeit entscheidet, ob eine vorgegebene natürliche Zahl eine Primzahl ist oder nicht. Das naive Verfahren, alle möglichen Teiler durchzuprobieren, ist nicht in Polynomialzeit durchführbar.

Formale Definition

Ein Problem wird in polynomieller Zeit lösbar genannt, wenn es von einem Algorithmus gelöst wird, dessen benötigte Rechenzeit (z.B. gemessen als Anzahl von Bitoperationen eines passenden Algorithmus auf einer Turing-Maschine) höchstens polynomiell mit der Größe der Eingabe des Problems (z.B. gemessen in Anzahl Bits) wächst, d.h., es gibt eine natürliche konstante Zahl $k\geq 1$ mit $m(n)={\hbox{O}}(n^{k})$ gemäß der Landau-Notation. Ein solcher Algorithmus heißt Polynomialzeit-Algorithmus oder polynomieller Algorithmus für das Problem.

Beispiel: Polynomieller Algorithmus

Ein einfaches Verfahren zum Sortieren eines Arrays ist das fortwährende Finden und nach hinten Schieben des größten der vorhandenen Elemente. Der Aufwand dieses Verfahrens ist quadratisch, weil für jedes Element der Eingabe maximal alle anderen Elemente einmal betrachtet werden müssen. Dadurch ergeben sich n+(n-1)+(n-2)... Vergleiche, deren Summe nach dem kleinen Gauß quadratisch in Abhängigkeit von n wächst. Da eine quadratische Abhängigkeit von der Eingabe polynomiell ist, handelt es sich um einen polynomiellen Algorithmus.

Superpolynomialzeit

Probleme, deren Berechnungszeit mit der Problemgröße stärker als mit einer Polynomfunktion wächst, heißen in Superpolynomialzeit lösbar; ein Beispiel dafür ist exponentielle Zeit, also $m(n)=\Omega (c^{n})$ mit c>1 konstant.

Bezug zu den Komplexitätsklassen

Die Klasse aller Probleme, die sich auf einer deterministischen sequentiellen Maschine in Polynomialzeit lösen lassen, wird als P (von polynomial) bezeichnet. Die Klasse aller Probleme, die sich von einer (hypothetischen) nichtdeterministischen Maschine in Polynomialzeit lösen lassen, wird als NP (von nondeterministic-polynomial time) bezeichnet. Es ist klar, dass $P\subseteq NP$ , also P eine Teilmenge von NP ist. Eine bis heute unbewiesene Vermutung ist, dass beide Klassen echt verschieden sind, dass also $P\subsetneq NP$ gilt. Das P-NP-Problem gilt als wichtigstes offenes Problem der theoretischen Informatik.

Kritik

Die Polynomialzeit wurde bereits in den 1970er Jahren als Grenze zwischen den praktisch lösbaren und den praktisch unlösbaren Problemen angesehen. Diese Abgrenzung ist allerdings für die Praxis nicht trennscharf. Einerseits gibt es auch Methoden mit exponentieller worst-case-Laufzeit, die in der Praxis einsetzbar sind; ein Beispiel hierfür ist der Simplex-Algorithmus. Andererseits wachsen Polynome höheren Grades bereits so schnell, dass viele in Polynomialzeit ablaufende Algorithmen für praktisch vorhandene Problemgrößen dennoch nicht mehr handhabbar sind.

Es sprechen jedoch eine Reihe von Gründen für die Beibehaltung der Polynomialzeit als „Grenze der Machbarkeit“. Insbesondere hat sich herausgestellt, dass viele Probleme, die lange Zeit nur mit schlechtem (hochgradigem) polynomiellem Aufwand lösbar waren, jeweils recht bald auch mit niedrigem polynomiellem Aufwand (etwa vom Grad 2 oder 3) gelöst werden konnten.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de