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Fehlerrechnung

Es ist praktisch nie möglich, exakt zu messen. Die Abweichungen der Messwerte von ihren wahren Werten wirken sich auf ein Messergebnis aus, so dass dieses ebenfalls von seinem wahren Wert abweicht. Die Fehlerrechnung versucht, die Einflussnahme der Messabweichungen auf das Messergebnis quantitativ zu bestimmen.

Messabweichungen wurden früher als Messfehler bezeichnet. Der Begriff Fehlerrechnung ist noch ein Überbleibsel aus jener Zeit.

Abgrenzung

Der Begriff Fehlerrechnung kann verschieden verstanden werden.

  1. systematische Abweichungen (systematische Fehler),
  2. Fehlergrenzen oder
  3. Unsicherheiten infolge zufälliger Abweichungen (zufälliger Fehler).
Kennzeichnend ist hier: Man hat im allgemeinen Fall mehrere Größen x_{i} und zu jeder Größe einen Messwert.
zufällige Abweichungen (zufällige Fehler).
Nachfolgend werden Formeln angegeben zur Berechnung eines von diesen Abweichungen möglichst befreiten Wertes und zu dessen verbleibender Messunsicherheit.
Kennzeichnend ist hier: Man hat zu einer Größe x mehrere Messwerte.

Normalverteilung

Häufigkeitsverteilung streuender Messwerte

Die Streuung von Messwerten kann man sich in einem Diagramm veranschaulichen. Man teilt den Bereich der möglichen Werte in kleine Bereiche mit der Breite b ein und trägt zu jedem Bereich auf, wie viele gemessene Werte in diesem Bereich vorkommen, siehe Beispiel in nebenstehendem Bild.

Normalverteilung streuender Messwerte

Bei der Gauß– oder Normalverteilung (nach Carl Friedrich Gauß) lässt man die Anzahl der Messungen N\rightarrow \infty gehen und zugleich b\rightarrow 0. Bei dem Diagramm geht der gestufte Verlauf über in eine stetige Kurve. Diese beschreibt

Mit der mathematischen Darstellung der Normalverteilung lassen sich viele statistisch bedingte natur-, wirtschafts- oder ingenieurwissenschaftliche Vorgänge beschreiben. Auch zufällige Messabweichungen können in ihrer Gesamtheit durch die Parameter der Normalverteilung beschrieben werden. Diese Kenngrößen sind

Unsicherheit einer einzelnen Messgröße

Das Folgende gilt bei Abwesenheit von systematischen Abweichungen und bei normalverteilten zufälligen Abweichungen.

Schätzwerte der Parameter

Hat man von der Größe x mehrere mit zufälligen Fehlern behaftete Werte v_{j} mit j=1\dots N, so kommt man gegenüber dem Einzelwert zu einer verbesserten Aussage durch Bildung des arithmetischen Mittelwertes \overline v

\overline v =\frac1N \sum_{j=1}^N{v_j} .

Die (empirische) Standardabweichung s ergibt sich aus

s = \sqrt {\frac1{N-1} \sum_{j=1}^N{(v_j-\overline v\,)^2}} .

Diese Größen sind Schätzwerte für die Parameter der Normalverteilung. Durch die endliche Zahl der Messwerte unterliegt auch der Mittelwert noch zufälligen Abweichungen. Ein Maß für die Breite der Streuung des Mittelwertes ist die Unsicherheit u

u={\frac  1{{\sqrt  N}}}\cdot s .

Diese wird umso kleiner, je größer N wird. Sie kennzeichnet zusammen mit dem Mittelwert einen Wertebereich \overline v-u \ \ldots \ \overline v+u, in dem der wahre Wert der Messgröße erwartet wird.

Vertrauensniveau

Diese Erwartung wird nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit erfüllt. Will man Letztere auf ein konkretes Vertrauensniveau festlegen, so muss man einen Bereich (ein Konfidenzintervall) \overline v-t \cdot u \ \ldots \ \overline v+t \cdot u festlegen, in dem der wahre Wert mit dieser Wahrscheinlichkeit liegt. Je höher die Wahrscheinlichkeit gewählt wird, desto breiter muss der Bereich sein. Der Faktor t berücksichtigt das gewählte Vertrauensniveau und die Anzahl der Messungen insoweit, als mit einer kleinen Zahl N die statistische Behandlung noch nicht aussagekräftig ist. Wählt man die oben genannte Zahl 68 % als Vertrauensniveau und N>12, so ist t=1{,}0. Für das in der Technik vielfach verwendete Vertrauensniveau von 95 % und für N>30 ist t=2{,}0.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 27.09. 2020