Lebesgue-Stieltjes-Maß

Das Lebesgue-Stieltjes-Maß ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilbereich der Mathematik. Es enthält als einen Spezialfall das Lebesgue-Maß und wird zur Konstruktion des Lebesgue-Stieltjes-Integrals genutzt.

Definition

Gegeben sei eine monoton wachsende, rechtsstetige Funktion F\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} und der Messraum ({\mathbb  {R}},{\mathcal  {B}}({\mathbb  {R}})), wobei  \mathcal{B} die Borelsche σ-Algebra bezeichnet. Dann heißt das eindeutig bestimmte Maß \lambda _{F} auf diesem Messraum mit

\lambda _{F}((a,b]):=F(b)-F(a)\quad {\text{für}}\quad a<b

Lebesgue-Stieltjes-Maß.

Beispiele

Konstruktion

Gegeben sei der Halbring {\mathcal  {J}}:=\{(a,b]:a,b\in {\mathbb  {R}},a<b\} und eine wachsende, rechtsseitig stetige Funktion  F . Dann ist

\mu _{F}:{\mathcal  {J}}\rightarrow {\mathbb  {R}},\mu _{F}((a,b]):=F(b)-F(a),(a<b)

ein σ-endliches Prämaß, das sogenannte Lebesgue-Stieltjessches Prämaß. Dann lässt sich mit dem Maßerweiterungssatz von Carathéodory eine eindeutige Fortsetzung dieses Prämaßes zu einem Maß konstruieren. Dazu wird ein äußeres Maß \nu _{F}, das sogenannte äußere Lebesgue-Stieltjessche Maß definiert, und dieses auf die von {\mathcal  {J}} erzeugte σ-Algebra eingeschränkt. Diese σ-Algebra ist dann genau die Borelsche σ-Algebra {\mathcal  {B}}({\mathbb  {R}})=\sigma ({\mathcal  {J}}) und es ist \lambda _{F}=\nu _{F}|\sigma ({\mathcal  {J}}).

Vervollständigung

Der oben konstruierte Maßraum ist im Allgemeinen kein vollständiger Maßraum. Da das äußere Lebesgue-Stieltjessche Maß aber auch ein metrisches äußeres Maß ist, enthält die σ-Algebra der messbaren Mengen bezüglich des äußeren Maßes {\mathcal  {A}}_{{\nu _{F}}} die Borelsche σ-Algebra. Demnach ist der Maßraum ({\mathbb  {R}},{\mathcal  {A}}_{{\nu _{F}}},\nu _{F}|_{{{\mathcal  {A}}_{{\nu _{F}}}}}) die Vervollständigung von ({\mathbb  {R}},{\mathcal  {B}}({\mathbb  {R}}),\lambda _{F}).

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 14.11. 2020