Kolimes

In verschiedenen Gebieten der Mathematik wird der kategorientheoretische Begriff Kolimes (auch direkter Limes oder induktiver Limes) benutzt, um das mengentheoretische Konzept der Vereinigung zu verallgemeinern.

Elementare Definition (für teilgeordnete Indexmengen)

Die Indexmenge {\displaystyle (I,\leq )} sei eine feste gerichtete Menge.

Ein induktives System (X_{i},f_{ij}) besteht aus Objekten (beispielsweise Mengen, Gruppen oder topologischen Räumen) X_{i} für die Indizes i\in I sowie Übergangsabbildungen

f_{ij}\colon X_{i}\to X_{j} für {\displaystyle i\leq j},

die mit der jeweiligen Struktur verträglich sind (d.h. Mengenabbildungen, Gruppenhomomorphismen, stetige Abbildungen topologischer Räume) und folgende Bedingungen erfüllen

  1. {\displaystyle f_{ii}=\operatorname {id} _{X_{i}}} für alle i die identische Abbildung auf X_{i} und
  2. {\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}} für alle {\displaystyle i\leq j\leq k}.

Der induktive Limes eines induktiven Systems (X_{i},f_{ij}) ist ein Objekt \mathrm {colim} _{n}X_{n} zusammen mit Abbildungen

u_{i}\colon X_{i}\to \mathrm {colim} _{n}\,X_{n},

die mit den f_{{ij}} kompatibel sind, d.h.

u_{i}=u_{j}\circ f_{ij} für {\displaystyle i\leq j}

mit der folgenden universellen Eigenschaft:

Kompatible Systeme von Abbildungen der X_{i} in ein "Testobjekt" T entsprechen Abbildungen von \mathrm {colim} _{n}X_{n} nach T.
Diagramm zum Kolimes.png

Das bedeutet: Wann immer Abbildungen t_{i}\colon X_{i}\to T gegeben sind, für die

t_{i}=t_{j}\circ f_{ij} für {\displaystyle i\leq j}

gilt, gibt es eine eindeutige Abbildung

c\colon \mathrm {colim} _{n}\,X_{n}\to T,

von der die Abbildungen t_{i} "herkommen", d.h.

t_{i}=c\circ u_{i}.


Der induktive Limes eines induktiven Systems (Xifi,j) von Mengen kann explizit konstruiert werden als eine Menge von Äquivalenzklassen

{\displaystyle \coprod _{i}X_{i}/\sim }

in der disjunkten Vereinigung \coprod _{i}X_{i}. Hierbei sollen Elemente äquivalent sein, die von den fi,j auf gleiche Elemente abgebildet werden.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 05.10. 2018