Besselsche Differentialgleichung

Die Besselsche Differentialgleichung ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung. Benannt wurde sie nach dem deutschen Mathematiker Friedrich Wilhelm Bessel. Ihre Lösungen heißen Bessel-Funktionen oder Besselfunktion oder Zylinderfunktionen.

Besselsche Differentialgleichung

Die Besselsche Differentialgleichung ist eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die durch

$x^{2}{\frac {{\mathrm d}^{2}f}{{\mathrm d}x^{2}}}+x{\frac {{\mathrm d}f}{{\mathrm d}x}}+\left(x^{2}-\nu ^{2}\right)f=0$

definiert ist, wobei und $\nu$ reelle oder komplexe Zahlen sind. Die Lösungen heißen Bessel-Funktionen $\nu$ -ter Ordnung.

Entsprechend ist der Bessel-Operator ein Differentialoperator zweiter Ordnung. Er ist definiert durch

$B_{\nu }:=x^{2}{\frac {{\mathrm d}^{2}}{{\mathrm d}x^{2}}}+x{\frac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}x}}+\left(x^{2}-\nu ^{2}\right)\,.$

Mit ihm kann man die Besselsche Differentialgleichung kurz ausdrücken durch

$B_{\nu }f=0$

Bessel-Funktionen

Allgemein

Die Bessel-Funktionen erster Gattung für $J_{0},J_{1}$ und $J_{2}$

Die Bessel-Funktionen zweiter Gattung für $Y_{0},Y_{1}$ und

Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung heißen Bessel-Funktionen. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Physik, da die Besselsche Differentialgleichung den radialen Anteil der Laplace-Gleichung bei zylindrischer Symmetrie darstellt. Auf die Bessel-Funktionen trifft man unter anderem bei der Untersuchung von Eigenschwingungen einer kreisförmigen Membran oder einer Orgelpfeife, der Ausbreitung von Wasserwellen in runden Behältern, der Wärmeleitung in Stäben, der Analyse des Frequenzspektrums frequenzmodulierter Signale, der Feldverteilung im Querschnitt von Rundhohlleitern, den stationären Zuständen von Kastenpotentialen, der Leistungsverteilung in Kernreaktoren und der Intensität von Lichtbeugung an kreisförmigen Löchern. Man zählt die Bessel-Funktionen wegen ihrer vielfältigen Anwendungen in der mathematischen Physik zu den speziellen Funktionen.

Als Differentialgleichung zweiter Ableitungsordnung besitzt die Besselsche Differentialgleichung zwei linear unabhängige Lösungen. Sie lassen sich in verschiedenen Varianten beschreiben.

Bessel-Funktionen erster Gattung J_ν

Die Bessel-Funktionen erster Gattung $J_{\nu }$ sind definiert als

$J_{\nu }(x)=\sum _{{r=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{r}({\frac {x}{2}})^{{2r+\nu }}}{\Gamma (\nu +r+1)r!}}\,$ ,

wobei $\Gamma (x)$ die Gammafunktion ist. Im Ursprung ( x=0 ) sind diese Funktionen für ganzzahlige $\nu$ endlich.

Für nicht-ganzzahlige $\nu$ sind $J_{\nu }$ und $J_{{-\nu }}$ linear unabhängige Lösungen.

Für ganzzahlige gilt die Beziehung

$J_{{-n}}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x)=J_{n}(-x)\,$ .

In diesem Fall ist die zweite unabhängige Lösung die Bessel-Funktion zweiter Gattung, die weiter unten diskutiert wird.

Integraldarstellungen

Für ganzzahlige kann man die Bessel-Funktion erster Gattung auch als Integral darstellen:

${\begin{aligned}J_{n}(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(x\sin \varphi -n\varphi )\,\mathrm {d} \varphi \\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{\mathrm {i} \,(x\sin \varphi -n\varphi )}\,\mathrm {d} \varphi \,.\end{aligned}}$

Damit ist $J_{n}(x)$ der $n$ -te Fourier-Koeffizient der Funktion $\varphi \mapsto e^{ix\sin \varphi }$ .

Hypergeometrische Funktion

Die Bessel-Funktion erster Gattung kann durch die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion ausgedrückt werden:

$J_{\nu }(x)={\frac {(x/2)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}\;_{0}F_{1}(;\nu +1;-x^{2}/4).$

Dieser Ausdruck hängt mit der Entwicklung der Bessel-Funktion in Abhängigkeit zur Bessel-Clifford-Funktion zusammen.

Bessel-Funktionen zweiter Gattung Y_ν

Auch die Bessel-Funktionen zweiter Gattung $Y_{\nu }(x)$ (auch Weber-Funktionen oder Neumann-Funktionen genannt) lösen die Besselsche Differentialgleichung. Eine alternative Bezeichnung ist $N_{\nu }(x)$ . Für nicht-ganzzahlige $\nu$ kann man die $Y_{\nu }(x)$ definieren durch

$Y_{\nu }(x)={\frac {J_{\nu }(x)\cos(\nu \pi )-J_{{-\nu }}(x)}{\sin(\nu \pi )}}.$

Für ganzzahlige ist die durch den Grenzübergang $\nu \rightarrow n$ gebildete Funktion

$Y_{n}(x)=\lim _{{\nu \to n}}Y_{\nu }(x)$

weiterhin eine Lösung der Besselschen Differentialgleichung.

Wie für die Bessel-Funktionen erster Gattung gilt auch für die Besselfunktionen zweiter Gattung folgende Beziehung:

$Y_{{-n}}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x)$ .

Nach Ausführung des Grenzüberganges mit der Regel von de l’Hospital ergibt sich

$Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\left[{\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!\nu }J_{\nu }(x){\Big |}_{\nu =n}+(-1)^{n}{\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!\nu }J_{\nu }(x){\Big |}_{\nu =-n}\right].$

Explizit findet man

${\begin{aligned}Y_{n}(x)=\,&{\frac 2{\pi }}\left(\gamma +\ln {\frac {x}2}\right)J_{n}(x)-{\frac 1{\pi }}\sum _{{k=0}}^{{n-1}}{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x}2}\right)^{{2k-n}}\\&{}-{\frac 1{\pi }}\sum _{{k=0}}^{{\infty }}(-1)^{k}{\frac {H_{k}+H_{{k+n}}}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x}2}\right)^{{2k+n}}\end{aligned}}$

für $n\in \mathbb {N} _{0}$ . Hierbei ist $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante und $H_{n}$ die -te harmonische Zahl.

Die Bessel-Funktionen zweiter Gattung haben also bei x=0 eine logarithmische Singularität und einen Pol -ter Ordnung.

Für alle $\nu$ ist neben der Bessel-Funktion erster Gattung $J_{\nu }$ die Bessel-Funktion zweiter Gattung $Y_{\nu }$ eine zweite, linear unabhängige Lösung.

Bessel-Funktionen dritter Gattung H_ν⁽¹⁾, H_ν⁽²⁾

Die Bessel-Funktionen dritter Gattung $H_{\nu }^{{(1)}}$ , $H_{\nu }^{{(2)}}$ (auch bekannt als Hankel-Funktionen) sind Linearkombinationen der Bessel-Funktionen erster und zweiter Gattung

${\begin{aligned}H_{\nu }^{{(1)}}(x)&=J_{\nu }(x)+{\mathrm i}\cdot Y_{\nu }(x)\,,\\H_{\nu }^{{(2)}}(x)&=J_{\nu }(x)-{\mathrm i}\cdot Y_{\nu }(x)\,,\end{aligned}}$

wobei $\mathrm {i}$ die imaginäre Einheit bezeichnet. Auch diese beiden Funktionen sind linear unabhängige Lösungen der Besselschen Differentialgleichung.

Weitere Eigenschaften

Beziehungen von Ordnungen einer Gattung

Für die Bessel-Funktionen $J_{\nu }$ , $Y_{\nu }$ , $H_{\nu }^{{(1)}}$ und $H_{\nu }^{{(2)}}$ gelten die Rekursionsbeziehungen:

${\frac {\nu }{x}}\Omega _{\nu }={\frac {1}{2}}(\Omega _{{\nu -1}}+\Omega _{{\nu +1}})$ ,

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\Omega _{\nu }={\frac {1}{2}}(\Omega _{\nu -1}-\Omega _{\nu +1})$ .

Für $x\in \mathbb {R}$ gilt $\sum _{{n=-\infty }}^{\infty }J_{n}(x)^{2}=1$ .

Für $n\in \mathbb{N}$ gilt $\left(-{\frac {1}{x}}{\frac {{{\rm {d}}}}{{{\rm {d}}}x}}\right)^{n}J_{0}(x)={\frac {J_{n}(x)}{x^{n}}}$ .

Asymptotisches Verhalten

Seien $x,\nu \in \mathbb {R} ,\nu \geq 0$ , dann gelten für $0<x\ll {\sqrt {\nu +1}}$ die asymptotischen Darstellungen

${\begin{aligned}J_{\nu }(x)&\approx {\frac {1}{\Gamma (\nu +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\nu }\\Y_{\nu }(x)&\approx {\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\frac {x}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{wenn }}\nu =0\\\\-{\frac {\Gamma (\nu )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\nu }&{\text{wenn }}\nu >0.\end{cases}}\end{aligned}}$

Für große Argumente $x\gg |\nu ^{2}-1/4|$ findet man

${\begin{aligned}J_{\nu }(x)&\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\nu \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\\Y_{\nu }(x)&\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\nu \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\end{aligned}}$ .

Diese Formeln sind für $\nu =1/2$ exakt. Vergleiche hierfür mit den sphärischen Besselfunktionen weiter unten.

Modifizierte Bessel-Funktionen

Die modifizierten Bessel-Funktionen erster Gattung für $I_{0},I_{1},I_{2}$ und $I_{3}$

Die modifizierten Bessel-Funktionen zweiter Gattung für $K_{0},K_{1},K_{2}$ und $K_{3}$

Die Differentialgleichung

$x^{2}{\frac {{\mathrm d}^{2}f}{{\mathrm d}x^{2}}}+x{\frac {{\mathrm d}f}{{\mathrm d}x}}-(x^{2}+\nu ^{2})f=0$

wird durch Bessel-Funktionen mit rein imaginärem Argument gelöst. Man definiert für ihre Lösung normalerweise die modifizierten Bessel-Funktionen

${\begin{aligned}I_{\nu }(x)&=i^{{-\nu }}J_{\nu }(ix)=\sum _{{r=0}}^{\infty }{\frac {({\frac {x}{2}})^{{2r+\nu }}}{\Gamma (r+\nu +1)r!}}\\K_{\nu }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{{-\nu }}(x)-I_{\nu }(x)}{\sin(\nu \pi )}}={\frac {\pi }{2}}i^{{\nu +1}}H_{\nu }^{{(1)}}(ix)\\&={\frac {\pi }{2}}(-i)^{{\nu +1}}H_{\nu }^{{(2)}}(-ix)\end{aligned}}$

Die Funktion $K_{\nu }(x)$ ist auch als MacDonald-Funktion bekannt. Anders als die „normalen“ Besselfunktionen weisen die modifizierten Besselfunktionen kein oszillierendes, sondern ein exponentielles Verhalten auf.

Airysche Integrale

Für die Funktionen $K_{{1/3}}$ und $K_{{2/3}}$ kann man eine Integraldarstellung angeben

${\begin{aligned}K_{{1/3}}(x)&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\frac {3}{2}}x\left(u+{\frac {u^{3}}{3}}\right)\right){\mathrm d}u\\K_{{2/3}}(x)&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }u\sin \left({\frac {3}{2}}x\left(u+{\frac {u^{3}}{3}}\right)\right){\mathrm d}u\end{aligned}}$ .