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Paraboloid

Elliptisches Paraboloid
Hyperbolisches Paraboloid

Ein Paraboloid ist eine Fläche zweiter Ordnung (Quadrik) und wird in den einfachsten Fällen entweder durch eine Gleichung

beschrieben.

Offensichtlich enthalten beide Flächen viele Parabeln als ebene Schnitte (s.u.). Allerdings gibt es auch wesentliche Unterschiede:

Eigenschaften von P1

Rotationsparaboloid mit Parabeln und Höhenkreisen

Tangentialebenen an P1

Die Tangentialebene in einem Flächenpunkt (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) an den Graphen einer differenzierbaren Funktion f hat die Gleichung

z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0).

Für f(x,y)=x^2+y^2 ergibt sich für die Gleichung der Tangentialebene im Punkt (x_0,y_0,x_0^2+y_0^2)

z=2x_0x+2y_0y-(x_0^2+y_0^2).

Ebene Schnitte von P1

Das elliptische Paraboloid P1 ist eine Rotationsfläche und entsteht durch Rotation der Parabel z=x^2 um die z-Achse. Ein ebener Schnitt von P1 ist:

Affine Bilder von P1

Rotationsparabolantenne zur Satellitenkommunikation

Ein beliebiges elliptisches Paraboloid ist ein affines Bild von P1. Die einfachsten affinen Abbildungen sind Skalierungen der Koordinatenachsen. Sie liefern die Paraboloide mit den Gleichungen

P1_{ab}\colon z=\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2},\ a,b >0.

P1_{ab} besitzt immer noch die Eigenschaft, dass es von einer senkrechten Ebene in einer Parabel geschnitten wird. Eine horizontale Ebene schneidet allerdings hier in einer Ellipse, falls a\ne b gilt.

P1_{ab} ist

Bemerkung:

  1. Ein Rotationsparaboloid (d.h. a=b) hat als Parabolspiegel große technische Bedeutung, da alle Parabeln mit der Rotationsachse als Achse denselben Brennpunkt besitzen.
  2. Ein elliptisches Paraboloid wird oft kurz Paraboloid genannt.
  3. Ein elliptisches Paraboloid ist projektiv zur Einheitskugel äquivalent.

Eigenschaften von P2

hyperbolisches Paraboloid: Parabeln, Geraden
hyperbolisches Paraboloid: Geraden

Tangentialebenen an P2

Für f(x,y)=x^2-y^2 ist die Gleichung der Tangentialebene (s.o.) im Punkt (x_0,y_0,x_0^2-y_0^2)

z=2x_0x-2y_0y-x_0^2+y_0^2.

Ebene Schnitte von P2

P2 ist (im Gegensatz zu P1) keine Rotationsfläche. Aber wie bei P1 sind bei P2 auch fast alle senkrechten ebenen Schnitte Parabeln:

Der Schnitt einer Ebene mit P2 ist

Bemerkung:

  1. Die Schnittparabeln mit Ebenen parallel zur xz- oder yz-Ebene sind alle kongruent zur Normparabel z=x^2.
  2. Eine nicht senkrechte Ebene, die eine Gerade enthält, enthält immer auch eine zweite Gerade und ist eine Tangentialebene.
  3. Da die Fläche P2 Geraden enthält, ist sie eine Regelfläche.
  4. Ein hyperbolisches Paraboloid enthält zwar Geraden (wie Zylinder und Kegel), ist aber nicht abwickelbar (wie Zylinder und Kegel), da die Gaußkrümmung in jedem Punkt nicht 0 ist. Die Gaußkrümmung ist überall <0. (Bei einer Kugel ist die Gaußkrümmung überall >0.) Damit ist ein hyperbolisches Paraboloid eine Sattelfläche.
  5. Durch eine Drehung des Koordinatensystems um die z-Achse um 45 Grad geht die Gleichung z=x^2-y^2 in die einfachere Gleichung z=2xy über.
hyperbolisches Paraboloid mit Hyperbeln als Höhenschnitte

Affine Bilder von P2

Stapelchips ähneln in ihrer Form einem hyperbolischen Paraboloid, um die Stabilität zu erhöhen.
Bahnhof von Warszawa Ochota, Beispiel eines hyperbolischen Paraboloids als Dach

Ein beliebiges hyperbolisches Paraboloid ist ein affines Bild von P2. Die einfachsten affinen Abbildungen sind Skalierungen der Koordinatenachsen. Sie liefern die hyperbolischen Paraboloide mit den Gleichungen

P2_{ab}:\ z=\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2},\ a,b >0.

P2_{ab} ist

Bemerkung:

  1. Hyperbolische Paraboloide werden von Architekten zur Konstruktion von Dächern verwendet (s. Bild), da sie leicht mit Geraden (Balken) modelliert werden können.
  2. Ein hyperbolisches Paraboloid ist projektiv zum einschaligen Hyperboloid äquivalent.
 

Grenzfläche zwischen Scharen von elliptischen und hyperbolischen Paraboloiden

ellipt. Paraboloid, parabol. Zylinder (Grenzfläche), hyperbol. Paraboloid

Lässt man in den Gleichungen

z=x^2 + \frac{y^2}{b^2} (Schar von elliptischen Paraboloiden)

und

z=x^2 - \frac{y^2}{b^2} (Schar von hyperbolischen Paraboloiden)

den Parameter  b gegen \infty laufen, so erhält man die Gleichung der gemeinsamen Grenzfläche

 z=x^2.

Dies ist die Gleichung eines Zylinders mit einer Parabel als Querschnitt (parabolischer Zylinder), s. Bild.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 05.10. 2017