Projektive Varietät

In der klassischen algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine projektive Varietät ein geometrisches Objekt, das durch homogene Polynome beschrieben werden kann.

Definition

Es sei K ein fest gewählter, algebraisch abgeschlossener Körper.

Der n-dimensionale projektive Raum über dem Körper K ist definiert als

P^{{n}}:=(K^{{n+1}}\setminus \{(0,\ldots ,0)\})/\sim

für die Äquivalenzrelation

(x_{0},\ldots ,x_{n})\sim (y_{0},\ldots ,y_{n})\Leftrightarrow \exists \lambda \in K\setminus \{0\}\colon x_{i}=\lambda y_{i},i=0,\ldots ,n.

Die Äquivalenzklasse des Punktes (x_{0},\ldots ,x_{n}) wird mit \left[x_{0}:\ldots :x_{n}\right] bezeichnet.

Für ein homogenes Polynom f\in K[X_{0},\ldots ,X_{n}] und einen Punkt x=[x_{0}:\ldots :x_{n}] ist die Bedingung f(x_{0},\ldots ,x_{n})=0 unabhängig von den gewählten homogenen Koordinaten von x.

Eine projektive algebraische Menge ist eine Teilmenge des projektiven Raumes, die die Form

\{x\in P^{n}\mid f_{1}(x)=\ldots =f_{k}(x)=0\}

für homogene Polynome f_{1},\ldots ,f_{k} in K[X_{0},\ldots ,X_{n}] hat.

Eine projektive Varietät ist eine irreduzible projektive algebraische Menge, d.h., die Polynome f_{1},\ldots ,f_{k} sollen ein Primideal in K[X_{0},\ldots ,X_{n}] erzeugen.

Beispiele

P^{n}\times P^{m}\to P^{{(n+1)(m+1)-1}},(x_{i},y_{j})\mapsto x_{i}y_{j} (in lexikographischer Ordnung).

Invarianten

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 04.10. 2019