Cepstrum

Das Cepstrum wurde 1963 in einem Artikel von Bogert, Healy und Tukey als eine Transformation eines Signals in die Nachrichtentechnik eingeführt. Darin wird das Cepstrum als das Spektrum des logarithmierten Frequenzspektrums (Fourierspektrums) eines Signals festgelegt. Die Bezeichnung Cepstrum leitet sich aus dem Begriff Spectrum ab, indem die ersten vier Buchstaben in der Reihenfolge umgekehrt wurden.

Das Cepstrum ist eine Funktion der sogenannten „Quefrenz“ (engl. „Quefrency“, entstanden aus dem Wort „Frequency“). Zur Erläuterung:

Das Spektrum eines Signals ist eine Funktion der Variablen Frequenz.
Das Cepstrum ist (als Spektrum einer Funktion im Frequenzbereich) die Funktion einer neuen Variablen. Für diese Variable wurde im o. g. Originalartikel der Begriff Quefrency eingeführt. Die Dimension der Quefrenz ist identisch mit der Dimension der unabhängigen Variablen der betrachteten ursprünglichen Funktion, aus der das Spektrum gebildet wurde. Für ein zeitabhängiges Signal hat die Quefrenz also die Dimension Zeit.

Exakt formuliert ist das Cepstrum die inverse Fourier-Transformierte („Alanysis“) des logarithmierten, durch Division mit einer Bezugsgröße G₀ dimensionslos gemachten, einseitigen Autoleistungsspektrums; so gilt z.B. für C_xx(τ), das Cepstrum für das Zeitsignal x(t) mit dem Autoleistungsspektrum G_xx(f):

$C_{{xx}}(\tau )=\int _{0}^{\infty }\ln \left({\frac {G_{{xx}}(f)}{G_{0}}}\right)\cdot e^{{{\mathrm {j}}2\pi f\tau }}\,df$

Die Besonderheit der Cepstrumfunktion gegenüber der ähnlichen Autokorrelationsfunktion ist die Logarithmierung im Frequenzbereich. Hierdurch gehen Multiplikationen (z.B. eines Spektrums mit einem Frequenzgang) in Additionen über. Dies bleibt wegen des linearen Charakters der (inversen) Fouriertransformation auch im Cepstrum gültig. Hierdurch sind harmonische Anteile im Signal deutlich zu erkennen, auch wenn sie nur relativ kleine Amplituden aufweisen. Die Cepstrumanalyse eignet sich daher besonders zur Trennung der Auswirkungen von Quelle und Übertragungseigenschaften, so z.B. zum Auffinden von Echos und eventuell zur Unterdrückung der Echoauswirkungen durch Fensterung (als Ableitung von „Filtering“ mit „Liftering“ bezeichnet) des Cepstrums im nicht vom Echosignal beeinflussten Bereich. Durch „Liftering“ können auch harmonische Anteile in einem Signal von den übrigen Anteilen getrennt werden, was z.B. in der Sprachanalyse und bei der Schadensfrüherkennung an Maschinen Anwendung findet. Im letzteren Fall wird der Umstand ausgenutzt, dass sich Schäden an Maschinen mit umlaufenden Bauteilen häufig durch einen Anstieg der harmonischen Komponenten im Luft- oder Körperschall andeuten.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de