Thomsonsche Schwingungsgleichung

Mit der Thomsonschen Schwingungsgleichung lässt sich die Resonanzfrequenz f_{0} eines Schwingkreises (Reihenschwingkreis und idealer Parallelschwingkreise) mit der Kapazität C und der Induktivität L berechnen. Sie wurde 1853 von dem britischen Physiker William Thomson erstmals formuliert und lautet:

f_{0}={\frac  {1}{2\pi {\sqrt  {LC}}}}

Oder umgeformt für die Periodendauer (Schwingungszeit):

T={\frac  {1}{f_{0}}}=2\pi {\sqrt  {LC}}

Herleitung

Im Resonanzfall ist der Resonanzwiderstand so groß wie der Serienwiderstand. Der kapazitive Widerstand des Kondensators und induktiver Widerstand der Spule innerhalb des Schwingkreises kompensieren sich auf null:

{\displaystyle X_{L}+X_{C}=0\qquad \Leftrightarrow \qquad \omega _{0}L-{\frac {1}{\omega _{0}C}}=0}
\omega _{0}L={\frac  {1}{\omega _{0}C}}
2\pi f_{0}L={\frac  {1}{2\pi f_{0}C}}, da gilt \omega =2\pi f
{f_{0}}^{2}={{\frac  {1}{4\pi ^{2}LC}}}
f_{0}={\frac  {1}{2\pi {\sqrt  {LC}}}}, üblich ist auch die Form: \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}

Herleitung nach dem Energieerhaltungssatz

Betrachten wir den elektrischen Schwingkreis als ein geschlossenes System, so ist die Summe aller Energieformen in diesem System zu jeder Zeit t konstant.

\!\,E_{{\mathrm  {mag}}}(t)+E_{{{\rm {el}}}}(t)=E_{{{\rm {Gesamt}}}}
E_{{\mathrm  {mag}}}: magnetische Feldenergie der Spule
E_{\mathrm {el} }: elektrische Feldenergie des Kondensators
E_{{\mathrm  {Gesamt}}}: Gesamtenergie des Systems (konstant)

Setzt man die entsprechenden Formeln ein, so kommt man auf folgende Differentialgleichung:

{\frac  {1}{2}}LI^{2}(t)+{\frac  {1}{2C}}Q^{2}(t)=E_{{\mathrm  {Gesamt}}}

Aus

I(t)={\frac  {dQ(t)}{dt}}={\dot  Q}(t)

folgt:

{\frac  {1}{2}}L{\dot  Q}^{2}(t)+{\frac  {1}{2C}}Q^{2}(t)=E_{{\mathrm  {Gesamt}}}

Nun leitet man diese Gleichung nach der Zeit ab und erhält:

L{\dot  Q}{\ddot  Q}(t)+{\frac  {1}{C}}Q{\dot  Q}(t)=0
I(t)\left(L{\ddot  Q}+{\frac  {1}{C}}Q(t)\right)=0
L{\ddot  Q}+{\frac  {1}{C}}Q(t)=0, da im Schwingkreis gilt: I(t)\neq 0.

Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir einen Zusammenhang zwischen Q(t) und {\ddot  Q}(t) herstellen. Dazu verwenden wir eine Sinusfunktion als Lösungsansatz, da sie sich auf Grund ihrer Periodizität gut zur Beschreibung einer Schwingung eignet.

Q(t)={\hat  Q}\cdot \sin(\omega t+\varphi )
{\dot  Q}(t)=\omega {\hat  Q}\cdot \cos(\omega t+\varphi )
{\ddot  Q}(t)=-\omega ^{2}{\hat  Q}\cdot \sin(\omega t+\varphi )=-\omega ^{2}\cdot Q(t)
{\hat {Q}}: maximale Ladung (Amplitude)
\omega : Kreisfrequenz
\varphi : Phasenverschiebung

Durch Einsetzen ergibt sich:

{\frac  {1}{C}}Q(t)-\omega ^{2}LQ(t)=0
Q(t)\left({\frac  {1}{C}}-\omega ^{2}L\right)=0
{\frac  {1}{C}}-\omega ^{2}L=0, da im Schwingkreis gilt: Q(t)\neq 0

Daraus folgt mit \omega =2\pi f:

{\frac  {1}{C}}-4\pi ^{2}f_{0}^{2}L=0
{f_{0}}^{2}={{\frac  {1}{4\pi ^{2}LC}}}
f_{0}={\frac  {1}{2\pi {\sqrt  {LC}}}}

Die thomsonsche Schwingungsgleichung gilt nur für Serienschwingkreise und ideale Parallelschwingkreise. Bei komplexeren Topologien muss, ausgehend von X_{L}=X_{C}, die Frequenz abgeleitet werden.

Des Weiteren muss bei der Anwendung der thomsonschen Schwingungsgleichung darauf geachtet werden, dass sich das jeweilige System im Schwingfall befindet – die Dämpfung durch den ohmschen Widerstand also nicht zu groß ist. Bei nicht zu großer Dämpfung kann die beim Parallelschwingkreis veränderte Resonanzfrequenz mit dem Verlustwiderstand RL von L berechnet werden:

\omega _{D}=\omega _{0}{{\sqrt  {1-R_{L}^{2}{\frac  {C}L}}}}
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 04.08. 2020