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Reduzierte Masse

Die reduzierte Masse ist eine fiktive Masse, die unter bestimmten Voraussetzungen die Eigenschaften einer oder mehrerer Einzelmassen eines Systems repräsentiert.

Astronomie, Teilchenbewegung

Wenn sich zwei Körper mit Massen m_{1} und m_{2} unter dem Einfluss einer verschwindenden Gesamtkraft bewegen, so lassen sich die Bewegungsgleichungen in die freie Bewegung des Schwerpunktes und das Ein-Körper-Problem der Relativbewegung aufspalten. Dabei verhält sich das leichtere Teilchen im relativen Abstand zum schwereren Teilchen wie ein Teilchen, das die durch

{\displaystyle {\frac {1}{m_{\mathrm {red} }}}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}

charakterisierte reduzierte Masse

{\displaystyle m_{\mathrm {red} }:={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}

hat. Je nach Masse m_{1} des schwereren Körpers (m_1\ge m_2) hat die reduzierte Masse {\displaystyle m_{\mathrm {red} }} Werte zwischen m_2/2 und m_{2}. In wichtigen Fällen (Planetenbewegung, Bewegung eines Elektrons im Coulombfeld des Atomkerns) unterscheiden sich die Massen des schwereren und des leichteren Körpers sehr stark (m_2/m_1\ll1). Dann ist die reduzierte Masse fast die Masse des leichteren Teilchens:

{\displaystyle m_{\mathrm {red} }={\frac {m_{2}}{1+m_{2}/m_{1}}}\approx m_{2}\left(1-{\frac {m_{2}}{m_{1}}}\right)\approx m_{\mathrm {2} }}

So lässt sich zum Beispiel die Relativbewegung Mond-Erde auf ein Ein-Körper-Problem reduzieren: Der Mond bewegt sich wie ein Körper mit reduzierter Masse {\displaystyle m_{\mathrm {red} }} im Gravitationsfeld der Erde.

In vielen Lehrbüchern wird die reduzierte Masse mit dem griechischen Buchstaben \mu abgekürzt.

Herleitung

m_1 \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}_1}{\mathrm{d}t^2}=\vec{F}
m_2 \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}_2}{\mathrm{d}t^2}=-\vec{F}
\vec{R}:=\frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{M}
mit der Massensumme M:=m_1+m_2 die Bewegungsgleichung
\ddot{\vec{R}} = 0
eines freien Teilchens. Also bewegt sich der Schwerpunkt geradlinig gleichförmig:
\vec{R}(t)=\vec{R}(0)+t\,\vec{v}(0)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}({\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2})=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right){\vec {F}}={\frac {1}{m_{\mathrm {red} }}}{\vec {F}}}
{\displaystyle m_{\mathrm {red} }{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}={\vec {F}}}
als Bewegungsgleichung für den relativen Ortsvektor \vec{r}:=\vec{r}_1-\vec{r}_2. Dieser bewegt sich also wie ein Teilchen der reduzierten Masse {\displaystyle m_{\mathrm {red} }} unter dem Einfluss der Kraft {\vec {F}}.

Drehimpuls

Für ein System aus zwei Teilchen kann mithilfe der reduzierten Masse der Drehimpuls im Schwerpunktsystem angegeben werden als

{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {L}}_{\mathrm {S} }&=\sum _{i=1}^{2}{\vec {L}}_{i\mathrm {S} }=({\vec {r}}_{1\mathrm {S} }\times {\vec {p}}_{1\mathrm {S} })+({\vec {r}}_{2\mathrm {S} }\times {\vec {p}}_{2\mathrm {S} })\\&=({\vec {r}}_{1\mathrm {S} }-{\vec {r}}_{2\mathrm {S} })\times {\vec {p}}_{1\mathrm {S} }={\vec {r}}_{12}\times m_{\mathrm {red} }{\vec {v}}_{1\mathrm {2} }\end{aligned}}}
{\displaystyle {\vec {r}}_{i\mathrm {S} },{\vec {p}}_{i\mathrm {S} }} bezeichnen hier jeweils den Ortsvektor bzw. den Impuls des Teilchens i bezogen auf den Schwerpunkt.
{\displaystyle {\vec {r}}_{12},{\vec {v}}_{12}} bezeichnen hier jeweils den relativen Abstand bzw. die relative Geschwindigkeit der beiden Teilchen.

Auf den Schwerpunkt bezogen ist der Drehimpuls eines Gesamtsystems von zwei Teilchen genau so groß wie der Drehimpuls eines Teilchens mit dem Impuls {\displaystyle m_{\mathrm {red} }{\vec {v}}_{12}} und dem Ortsvektor {\displaystyle {\vec {r}}_{12}}.

Technische Mechanik

Eine Punktmasse m die im Abstand {\displaystyle r_{\mathrm {m} }} um eine Achse rotiert, kann auf einen anderen Abstand r umgerechnet werden. Die reduzierte Masse hat das gleiche Trägheitsmoment bezüglich der Drehachse wie die ursprüngliche Masse. Mit der Übersetzung

{\displaystyle i={\frac {r_{\mathrm {m} }}{r}}}

berechnet sich die reduzierte Masse zu:

m_\mathrm{red}=i^2\,m

Anwendung z. B. in der Schwingungslehre.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 07.11. 2019