Dirichletscher Primzahlsatz

Der dirichletsche Primzahlsatz (nach P. G. L. Dirichlet) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie, der besagt, dass eine arithmetische Folge unendlich viele Primzahlen enthält, wenn dies nicht aus trivialen Gründen unmöglich ist.

In der einfachsten Fassung lautet der Satz: Es sei eine natürliche Zahl und eine zu teilerfremde natürliche Zahl. Dann enthält die arithmetische Folge

$a,a+m,a+2m,a+3m,\ldots$

unendlich viele Primzahlen. Anders formuliert: Es gibt unendlich viele Primzahlen, die kongruent zu modulo sind.

Wären und nicht teilerfremd und g>1 ein gemeinsamer Teiler, so wäre jedes Folgenglied durch teilbar; zwei verschiedene Primzahlen können aber nicht beide durch teilbar sein. Deshalb ist die Bedingung der Teilerfremdheit von und notwendig.

Jede ungerade natürliche Zahl hat die Form 4k+1 oder 4k+3 mit einer nichtnegativen ganzen Zahl . Der dirichletsche Primzahlsatz sagt in diesem Spezialfall aus, dass es von beiden Formen jeweils unendlich viele Primzahlen gibt.

Bezogen auf das Dezimalsystem sagt der Satz aus, dass es jeweils unendlich viele Primzahlen gibt, die im Dezimalsystem auf eine 1, auf eine 3, auf eine 7 und auf eine 9 enden. Allgemeiner kann man sagen: Gibt es zwei verschiedene Primzahlen, die in einem Zahlensystem auf die gleiche Ziffernfolge enden, so gibt es unendlich viele weitere Primzahlen, die in diesem Zahlensystem auf diese Ziffernfolge enden.

In einer quantitativen Fassung, die beispielsweise aus dem tschebotarjowschen Dichtigkeitssatz folgt, lautet der dirichletsche Primzahlsatz:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi _{m,a}(x)}{\pi (x)}}:=\lim _{x\to \infty }{\frac {\#\{p\leq x\mid p\ \mathrm {prim} ,\quad p\equiv a{\pmod {m}}\}}{\#\{p\leq x\mid p\ \mathrm {prim} \}}}={\frac {1}{\varphi (m)}}$

mit der eulerschen φ-Funktion. Diese Aussage bedeutet, dass es in jeder der primen Restklassen modulo in einem gewissen Sinne gleich viele Primzahlen gibt.

Dirichlets Beweis (1837, ausführlicher 1839) war ein wichtiger Schritt zur Begründung der analytischen Zahlentheorie (Dirichlet L-Reihen, Dirichlet-Charaktere, analytische Klassenzahlformel für quadratische Zahlkörper). Die Einführung der L-Funktion geschah in Analogie zu Eulers Einführung der Zetafunktion bei der Primzahlverteilung. Dirichlet zeigte dann das Nicht-Verschwinden der L-Funktion an der Stelle 1. Die Vermutung über Primzahlen in arithmetischen Folgen stammt von Adrien-Marie Legendre, der in seinem Lehrbuch der Zahlentheorie einen fehlerhaften Beweis gab, wie Dirichlet darlegte.

Der Fehlerterm in der vom Satz von Dirichlet beschriebenen Primzahlverteilung ist Gegenstand des Satzes von Siegel-Walfisz, des Satzes von Bombieri und Winogradow und der Vermutung von Elliott und Halberstam.

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