Markow-Ungleichung (Stochastik)

Die Markow-Ungleichung, auch Markow'sche Ungleichung oder Ungleichung von Markow genannt, ist eine Ungleichung in der Stochastik, einem Teilgebiet der Mathematik. Sie ist nach Andrei Andrejewitsch Markow benannt. Sein Name und der der Ungleichung ist in der Literatur auch in den Schreibungen Markoff oder Markov zu finden. Die Ungleichung gibt eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Zufallsvariable eine vorgegebene reelle Zahl überschreitet.

Satz

Es seien (\Omega,\Sigma,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, {\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} } eine reellwertige Zufallsvariable, a eine reelle Konstante und ferner {\displaystyle h\colon D\rightarrow [0,\infty )} eine monoton wachsende Funktion gegeben. Die Definitionsmenge D\subseteq \mathbb {R} von h enthalte außerdem die Bildmenge von X. Die allgemeine Markow-Ungleichung besagt dann:

h(a)P\left[X\geq a\right]\leq \operatorname {E}\left[h(X)\right],

was man für h(a)>0 zu

P\left[X\geq a\right]\leq {\frac  {\operatorname {E}\left[h(X)\right]}{h(a)}}.

umschreiben kann.

Beweis

Sei I_{A} die Indikatorfunktion der Menge A. Dann gilt:

h(a)P\left[X\geq a\right]=\int I_{{\{X\geq a\}}}h(a)\ dP\leq \int I_{{\{X\geq a\}}}h(X)\ dP\leq \operatorname {E}\left[h(X)\right].

Varianten

P\left[|X|\geq a\right]\leq {\frac  {\operatorname {E}\left[|X|\right]}{a}}.
P\left[|X|\geq c\cdot \operatorname {E}[|X|]\right]\leq {\frac  {\operatorname {E}\left[|X|\right]}{c\cdot \operatorname {E}\left[|X|\right]}}={\frac  {1}{c}}.
P\left[|X-\operatorname {E}[X]|\geq a\right]\leq {\frac  {\operatorname {E}[(X-\operatorname {E}[X])^{2}]}{a^{2}}}={\frac  {\operatorname {Var}[X]}{a^{2}}}.
P\left[|X|\leq (1-c)\operatorname {E}\left[|X|\right]\right]\leq 1-{\frac  {c}{b}}.
Der Beweis dieser Aussage ist ähnlich dem Beweis der Markow-Ungleichung.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 11.04. 2020