Schätzung der Varianz der Grundgesamtheit
Zur Schätzung der Varianz der Grundgesamtheit wird oft die Maximum-Likelihood-Schätzung benutzt. Die Maximum-Likelihood-Schätzung liefert als Schätzer der unbekannten Varianz der Grundgesamtheit die unkorrigierte Stichprobenvarianz, die allerdings nur asymptotisch erwartungstreu ist. Einen erwartungstreuen Schätzer, die korrigierte Stichprobenvarianz, erhält man, indem man die unkorrigierte Stichprobenvarianz mit dem Korrekturfaktor multipliziert.
Varianzschätzung einer normalverteilten Grundgesamtheit
Maximum-Likelihood-Schätzung
Seien unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen aus einer normalverteilten Grundgesamtheit mit dem unbekannten Erwartungswert und der unbekannten Varianz der Grundgesamtheit . Seien die Realisierungen der Zufallsvariablen , dann ist die Likelihood-Funktion (auch Plausibilitätsfunktion genannt) einer Stichprobe mit Umfang
und die log-Likelihood-Funktion
- .
Um einen Schätzer für finden, wird die log-Likelihood-Funktion nach abgeleitet
und gleich Null gesetzt um ein Maximum zu finden
(für eine Herleitung der Varianz der Grundgesamtheit in Matrixnotation, siehe Klassisches lineares Modell). Die zweite Ableitung ergibt sich als
und an der Stelle :
- ,
d.h. es handelt sich um ein Maximum, wenn .
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 24.03. 2020