Lösungsmenge

Als Lösungsmenge bezeichnet die Mathematik die Menge der Lösungen einer Gleichung, einer Ungleichung, eines Systems von Gleichungen und Ungleichungen oder allgemein Menge von (logischen) Aussagen.

Lösungsmenge

Allgemein betrachtet man eine Menge von Aussagen mit Parametern, die Variablen oder Unbekannte genannt werden, zum Beispiel eine Gleichung, ein Gleichungssystem oder eine Ungleichung. Als Lösungsmenge L bezeichnet man nun die Menge der Belegungen dieser Variablen, sodass alle Aussagen der Menge wahr sind. Lösungsmengen können nach ihrer Größe wie folgt klassifiziert werden:

Dabei hängt die Lösungsmenge auch von den Randbedingungen ab. So hat beispielsweise die Gleichung x^{2}=-1 für x\in \mathbb {R} (reelle Zahlen) keine Lösung, hingegen für {\displaystyle x\in \mathbb {C} } (komplexe Zahlen) zwei Lösungen.

Im Fall mehrerer Lösungen kann eine Lösung speziell ausgezeichnet sein, sodass eine gewisse Eindeutigkeit gewährleistet ist. Die Gleichung x^2 = a hat für gegebenes a\in\R^+ immer zwei verschiedene Lösungen {\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} } also {\displaystyle L=\{x_{1},x_{2}\}}, von denen immer eine positiv und eine negativ ist. Somit ist die positive (als auch die negative) als solche eindeutig; man definiert so die Wurzel von a als die eindeutige positive Lösung der angegebenen Gleichung. Somit wird Eindeutigkeit, also der Fall |L|=1 durch zusätzliche Randbedingungen (im Beispiel x>0) erzwungen. Das ist aber nicht bei allen Problemstellungen (sinnvoll) möglich.

Lösungsraum

Die Lösungsmenge eines homogenen, beziehungsweise inhomogenen linearen Gleichungssystems ist immer ein Vektorraum, beziehungsweise ein affiner Raum. Hat die Lösungsmenge eine solche Struktur, so spricht man auch von einem Lösungsraum. Ist Ax=b ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, ist also A die Abbildungsmatrix der Abbildung \Phi \colon V\to W und \Phi eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen V und W und ist 0\neq b\in W, dann gibt es drei Möglichkeiten:

Beispiele

Es ist jeweils eine Gleichung und ihre Lösungsmenge für x,y\in {\mathbb  R} angegeben:

{\begin{matrix}x&+&2y&=&8\\2x&+&y&=&7\\\end{matrix}}\qquad L=\{(2;3)\}

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 10.01. 2021