Beth-Funktion
Die Beth-Funktion, benannt nach dem zweiten
Buchstaben des hebräischen
Alphabets und auch als
geschrieben, ist eine in der Mengenlehre,
genauer in der Theorie der Kardinalzahlen,
verwendete Aufzählung gewisser unendlicher Kardinalzahlen.
Definition
Die Beth-Funktion ordnet jeder Ordinalzahl
eine wie folgt rekursiv definierte Kardinalzahl
zu:
, wobei
die kleinste unendliche Kardinalzahl ist, siehe Aleph-Funktion.
für Nachfolger-Ordinalzahlen
. Dabei steht die rechte Seite für die Potenz von Kardinalzahlen.
für Limes-Ordinalzahlen
.
Bemerkungen
Die Kontinuumshypothese
ist gleichbedeutend mit ,
denn
ist definitionsgemäß die Mächtigkeit der Potenzmenge
einer abzählbaren
Menge und daher gleichmächtig zum Kontinuum
.
Die verallgemeinerte
Kontinuumshypothese ist äquivalent zu
,
das heißt
für alle Ordinalzahlen
.
Eine Limes-Kardinalzahl
heißt ein starker Limes, wenn
für alle Kardinalzahlen
.
Eine Kardinalzahl
ist genau dann eine starke Limes-Kardinalzahl, wenn
für eine Limes-Ordinalzahl
.
Es gilt stets
für alle Ordinalzahlen
.
Man kann zeigen, dass es Fixpunkte
geben muss, das heißt solche Ordinalzahlen
,
für die
gilt. Der kleinste Fixpunkt ist der Limes der Folge
,
der informal als
dargestellt wird. Ebenso sind stark
unerreichbare Kardinalzahlen Fixpunkte der Beth-Funktion.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 04.06. 2020