Satz von Binet-Cauchy

Der Satz von Binet-Cauchy ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet Lineare Algebra. Der nach Jacques Philippe Marie Binet und Augustin-Louis Cauchy benannte Satz besteht aus einer Formel zur Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrix . Um ihn anzuwenden, muss eine Produktdarstellung $C=A\cdot B$ bekannt sein. Der Satz von Binet-Cauchy verallgemeinert den Determinantenproduktsatz, der sich als Spezialfall ergibt, wenn und quadratisch sind.

Satz

Sind eine $n \times m$ -Matrix und eine $m\times n$ -Matrix, dann berechnet sich die Determinante von $A\cdot B$ durch Aufsummieren von Produkten aus je einem -dimensionalen Minor von und :

$\det(A\cdot B)=\sum _{S\subseteq \{1,2,\ldots ,m\} \atop |S|=n}\det(A_{S})\det(B_{S})=\sum _{S\subseteq \{1,2,\ldots ,m\} \atop |S|=n}\det(A_{S}\cdot B_{S})$

Die Untermatrizen $A_{S}$ und $B_{S}$ ergeben sich aus den Matrizen und wenn nur die Spalten aus bzw. Zeilen aus verwendet werden, deren Nummern in vorkommen. Dabei muss die ursprüngliche Reihenfolge der Spalten bzw. Zeilen jedoch erhalten bleiben. Ist n>m , dann gibt es solche Untermatrizen nicht und es gilt $\det(A\cdot B)=0$ .

Gilt $A,B\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ , dann gibt es genau eine Teilmenge $S=\{1,2,\ldots ,n\}$ und es gilt $\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot \det(B)$ .

Beispiel

In diesem Beispiel wird die Determinante der Matrix mit Hilfe des Satzes von Binet-Cauchy berechnet. Für diese Matrix ist die folgende Produktdarstellung gegeben:

$C={\begin{pmatrix}58&64\\139&154\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}7&8\\9&10\\11&12\end{pmatrix}}=A\cdot B$ .

Nach dem Satz von Binet-Cauchy gilt:

$\det(C)=\sum _{S\subseteq \{1,2,3\} \atop |S|=2}\det(A_{S})\det(B_{S})$

$\qquad =\det(A_{\{1,2\}})\cdot \det(B_{\{1,2\}})+\det(A_{\{2,3\}})\cdot \det(B_{\{2,3\}})+\det(A_{\{1,3\}})\cdot \det(B_{\{1,3\}})$

$\qquad =\det {\begin{pmatrix}1&2\\4&5\end{pmatrix}}\cdot \det {\begin{pmatrix}7&8\\9&10\end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}2&3\\5&6\end{pmatrix}}\cdot \det {\begin{pmatrix}9&10\\11&12\end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}1&3\\4&6\end{pmatrix}}\cdot \det {\begin{pmatrix}7&8\\11&12\end{pmatrix}}$

$\qquad =(-3)\cdot (-2)+(-3)\cdot (-2)+(-6)\cdot (-4)$

$\qquad =36$ .

Literatur

Felix R. Gantmacher: Matrizentheorie. Springer-Verlag, 1986, ISBN 3-540-16582-7, S. 28–29

Basierend auf einem Artikel in:

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