Hadamard-Matrix
Eine Hadamard-Matrix vom Grad ist eine -Matrix, die ausschließlich die Zahlen und als Koeffizienten enthält und bei der zudem alle Spalten orthogonal zueinander sind, ebenso alle Zeilen.
Hadamard-Matrizen sind nach dem französischen Mathematiker Jacques Hadamard benannt.
Eigenschaften
Aus der Orthogonalität der Zeilen und Spalten folgt für eine Hadamard-Matrix die Beziehung:
Dabei bezeichnet die transponierte Matrix zu und die Einheitsmatrix. Diese Gleichung kann auch zur Definition von Hadamard-Matrizen benutzt werden, da unter allen Matrizen, deren Einträge ausschließlich aus den Zahlen und bestehen, nur Hadamard-Matrizen diese Gleichung erfüllen.
Das Produkt einer Hadamard-Matrix mit einer Permutationsmatrix oder einer vorzeichenbehafteten Permutationsmatrix ergibt wieder eine Hadamard-Matrix.
Es lässt sich zeigen, dass Hadamard-Matrizen nur für , oder mit existieren können.
Enthalten die erste Spalte und die erste Zeile von nur -Einträge, so heißt die Matrix normalisiert.
Konstruktion
Es gibt verschiedene Methoden, Hadamard-Matrizen zu konstruieren. Zwei davon werden im Folgenden beschrieben:
Konstruktion nach Sylvester
Diese Konstruktion geht auf den englischen Mathematiker James J. Sylvester zurück. Ist eine Hadamard-Matrix vom Grad , so lässt sich damit folgendermaßen eine Hadamard-Matrix vom Grad konstruieren:
Die Orthogonalitätseigenschaft lässt sich leicht überprüfen:
Walsh-Matrizen
Damit ergibt sich zum Beispiel die nach dem Mathematiker Joseph L. Walsh benannte Folge von Matrizen (Walsh-Matrizen):
Die Walsh-Matrizen sind normalisierte Hadamard-Matrizen vom Grad , wobei jede Zeile eine Walsh-Funktion darstellt.
Konstruktion über das Legendre-Symbol
Man definiert sich bei dieser Konstruktion zunächst die Jacobsthal-Matrix vom Grad (wobei eine ungerade Primzahl ist) mit Hilfe des Legendre-Symbols :
Ist nun mit , so gilt
und
wobei die Einsmatrix bezeichnet, bei der alle Einträge 1 sind. Nun konstruiert man die Hadamard-Matrix vom Grad :
- .
Auch hier kann man nachrechnen, dass dies eine Hadamard-Matrix ist (benutze und ):
- .
So konstruierte Matrizen heißen Hadamard-Matrizen vom Paley-Typ, nach dem englischen Mathematiker Raymond Paley.
Die Hadamard-Vermutung
Es wird vermutet (konnte aber noch nicht bewiesen werden), dass zu jeder Zahl wenigstens eine Hadamard-Matrix existiert. Diese Vermutung geht wahrscheinlich auf Paley zurück. Mit den beiden oben genannten Verfahren kann man Hadamard-Matrizen für alle Zahlen der Form oder für eine Primzahl erzeugen. Es gibt weitere Verfahren, allerdings lassen sich damit nicht alle Möglichkeiten abdecken. So wurde bis 2005 noch keine Hadamard-Matrix zu gefunden. 1977 war die Frage noch für ungeklärt.
Anwendungen
- Die Hadamard-Transformation, eine diskrete Transformation aus dem Bereich der Fourier-Analysis, verwendet Hadamard-Matrizen.
- Hadamard-Matrizen finden Anwendung im Bereich der fehlerkorrigierenden Codes, wo sie zum Erzeugen von Hadamard-Codes oder Reed-Muller-Codes benutzt werden.
- In der Statistik werden sie benutzt, um Varianzen von Variablen zu berechnen.
- In der diskreten Mathematik werden bestimmte Blockpläne, die Hadamard-Blockpläne, aus Hadamard-Matrizen konstruiert.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 19.02. 2023